Trigonométrie dans le Triangle Rectangle
1. Rappel : Le Triangle Rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).
Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse (c’est le côté le plus long).
2. Les Trois Rapports Trigonométriques
Pour un angle aigu  dans un triangle rectangle ABC rectangle en A :
| Nom | Définition | Formule | Moyen mnémotechnique |
|---|---|---|---|
| Sinus | Opposé / Hypoténuse | sin(Â) = BC/AC | “SOH” (Sinus = Opposé sur Hypoténuse) |
| Cosinus | Adjacent / Hypoténuse | cos(Â) = AB/AC | “CAH” (Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse) |
| Tangente | Opposé / Adjacent | tan(Â) = BC/AB | “TOA” (Tangente = Opposé sur Adjacent) |
Important : Ces rapports ne s’appliquent que dans un triangle rectangle !
3. Exemple d’Application
Soit un triangle ABC rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
Calculons les rapports trigonométriques pour l’angle  :
- D’abord, calculons l’hypoténuse BC avec Pythagore :
BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⇒ BC = 5 cm
- Sinus de  :
sin(Â) = opposé/hypoténuse = BC/AC = 4/5 = 0,8
- Cosinus de  :
cos(Â) = adjacent/hypoténuse = AB/AC = 3/5 = 0,6
- Tangente de  :
tan(Â) = opposé/adjacent = BC/AB = 4/3 ≈ 1,333
4. Méthode pour Résoudre un Problème
Cas 1 : On cherche un côté
- Identifier l’angle connu et les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse)
- Choisir la bonne formule trigonométrique
- Remplacer les valeurs connues
- Résoudre l’équation pour trouver le côté inconnu
Exemple : Trouver AB si  = 30° et BC = 5 cm
tan(30°) = opposé/adjacent = BC/AB ⇒ AB = BC/tan(30°) ≈ 5/0,577 ≈ 8,66 cm
Cas 2 : On cherche un angle
- Identifier les côtés connus
- Choisir la bonne formule trigonométrique
- Calculer le rapport (sin, cos ou tan)
- Utiliser la calculatrice (touches sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) pour trouver l’angle
Exemple : Trouver  si AB = 6 cm et BC = 8 cm
tan(Â) = BC/AB = 8/6 ≈ 1,333 ⇒ Â ≈ tan⁻¹(1,333) ≈ 53,13°
5. Pièges et Conseils
- Vérifier que le triangle est bien rectangle avant d’appliquer les formules
- Bien identifier l’hypoténuse (toujours en face de l’angle droit)
- Attention à la mode de la calculatrice (degrés vs radians)
- Estimer mentalement si le résultat est plausible
Valeurs remarquables à connaître :
| Angle | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tan | √3/3 | 1 | √3 |
