🧮 Le Barycentre dans le Plan
1ère Bac Sciences Mathématiques SM
🎯 Introduction
Le barycentre est une notion fondamentale qui généralise l’idée de moyenne pondérée de points. Pour des points \(A_1, A_2, …, A_n\) avec des coefficients \(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n\), le barycentre \(G\) est défini par :
\(\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}\)
Barycentre de (A,α) et (B,β)
1. Définition et Théorème Fondamental
Théorème :
Soient \(A_1, A_2, …, A_n\) des points du plan et \(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n\) des réels avec \(\sum \alpha_i \neq 0\). Il existe un unique point \(G\) tel que :
\(\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}\)
Ce point \(G\) est appelé barycentre du système \(\{(A_i,\alpha_i)\}\).
Propriété caractéristique :
Pour tout point \(M\) du plan :
\(\overrightarrow{MG} = \frac{1}{\sum \alpha_i} \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}\)
Cas particulier : Si \(\sum \alpha_i = 1\), alors \(G\) vérifie :
\(G = \sum_{i=1}^n \alpha_i A_i\)
2. Barycentre de Deux Points
Coordonnées
Pour \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\), le barycentre \(G\) de \(\{(A,\alpha), (B,\beta)\}\) a pour coordonnées :
\(x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}\)
\(y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}\)
Propriétés
- Si \(\alpha = \beta\), \(G\) est le milieu de \([AB]\)
- \(G\) appartient à la droite \((AB)\)
- \(\frac{AG}{GB} = \frac{|\beta|}{|\alpha|}\)
Exemple :
Soient \(A(1,2)\) et \(B(4,-1)\). Trouver \(G\) barycentre de \(\{(A,2), (B,1)\}\)
Solution :
\(x_G = \frac{2×1 + 1×4}{2+1} = 2\)
\(y_G = \frac{2×2 + 1×(-1)}{3} = 1\)
⇒ \(G(2,1)\)
3. Associativité du Barycentre
Théorème :
Si on remplace plusieurs points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients, le barycentre global ne change pas.
\(\text{Bar}\{(A,\alpha), (B,\beta), (C,\gamma)\} = \text{Bar}\{(\text{Bar}\{(A,\alpha), (B,\beta)\}, \alpha+\beta), (C,\gamma)\}\)
Application :
Soit \(G\) barycentre de \(\{(A,1), (B,2), (C,3)\}\)
1. Calculer \(G_1 = \text{Bar}\{(A,1), (B,2)\}\)
2. Exprimer \(G\) comme barycentre de \(G_1\) et \(C\)
4. Coordonnées et Applications
Coordonnées générales
Pour \(n\) points \(A_i(x_i,y_i)\), le barycentre \(G\) a pour coordonnées :
\(x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}\)
\(y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}\)
Exemple : Centre de gravité
Dans un triangle \(ABC\), le centre de gravité \(G\) est le barycentre de \(\{(A,1), (B,1), (C,1)\}\) :
\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\)
\(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
🔄 Exercice Interactif
Soient \(A(1,2)\), \(B(4,6)\) et \(C(5,-1)\). \(G\) est le barycentre de \(\{(A,2), (B,1), (C,3)\}\).
1. Coordonnée x de G :
2. Coordonnée y de G :
3. Si \(H = \text{Bar}\{(A,2), (B,1)\}\), alors \(G\) est le barycentre de :
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