✖️ 10 Exercices: Produit Scalaire dans le Plan
1ère Bac Sciences Mathématiques SM
Exercice 1: Calcul direct
Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 5\) et l’angle \((\vec{u},\vec{v}) = 60°\).
Exercice 2: Expression analytique
Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}\).
Exercice 3: Orthogonalité
Montrer que \(\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-4 \\ 6\end{pmatrix}\) sont orthogonaux.
Exercice 4: Norme et distance
Calculer \(\|\vec{u}\|\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix}6 \\ -8\end{pmatrix}\) puis la distance AB si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\).
Exercice 5: Angle entre vecteurs
Calculer l’angle entre \(\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}\).
Exercice 6: Projection orthogonale
Calculer la longueur de la projection de \(\vec{u}\begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}\) sur \(\vec{v}\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}\).
Exercice 7: Vecteur normal
Trouver un vecteur normal à la droite d’équation \(2x – 5y + 3 = 0\).
Exercice 8: Équation de droite
Déterminer l’équation de la droite passant par A(1,3) et de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix}\).
Exercice 9: Optimisation
Pour quel x les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}x \\ 2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\) sont-ils orthogonaux ?
Exercice 10: Problème synthèse
Soient A(1,2), B(3,5) et C(-2,4). Calculer l’angle \(\widehat{ABC}\).
