Transformations du Plan
Géométrie – Tronc Commun Science
Introduction
Les transformations géométriques sont des applications qui modifient la position, l’orientation ou la taille des figures tout en conservant certaines propriétés. Essentielles en technologie pour la CAO, la robotique et le traitement d’images.
Types
• Translation
• Rotation
• Symétrie
• Homothétie
Applications
• Robotique
• Infographie
• Conception mécanique
Propriétés
• Conservation
• Invariance
• Bijectivité
1. Translation
Définition
Déplacement rectiligne selon un vecteur donné u⃗(a,b) :
M(x,y) → M'(x+a, y+b)
• Conserve les longueurs
• Conserve les angles
• Conserve l’orientation
Exemple :
u⃗(2,3) : A(1,2) → A'(3,5)
Visualisation interactive
2. Rotation
Définition
Tourne tous les points d’un angle α autour d’un centre C(a,b) :
Formules :
x’ = a + (x-a)cosα – (y-b)sinα
y’ = b + (x-a)sinα + (y-b)cosα
• Conserve les longueurs
• Conserve les angles
• Change l’orientation si α ≠ 2kπ
Animation
Cas particuliers
Rotation de 90°
x’ = -y
y’ = x
Rotation de 180°
x’ = -x
y’ = -y
Rotation de -90°
x’ = y
y’ = -x
3. Symétrie
Symétrie axiale
Par rapport à une droite (axe) :
Axe (Ox) :
x’ = x
y’ = -y
Axe (Oy) :
x’ = -x
y’ = y
• Conserve les longueurs
• Inverse l’orientation
Symétrie centrale
Par rapport à un point C(a,b) :
x’ = 2a – x
y’ = 2b – y
Cas particulier :
Symétrie par rapport à l’origine :
x’ = -x
y’ = -y
• Conserve les longueurs
• Conserve l’orientation
Comparaison visuelle
4. Homothétie
Définition
Agrandissement/réduction de rapport k depuis un centre C(a,b) :
x’ = a + k(x-a)
y’ = b + k(y-b)
• Multiplie les longueurs par |k|
• Conserve les angles
• Conserve l’orientation si k > 0
• Inverse l’orientation si k < 0
Simulateur d’homothétie
Applications technologiques
Modélisation 3D :
Changement d’échelle des objets
Cartographie :
Passage aux différentes échelles
Microscopie :
Agrandissement des images
