Systèmes Mécaniques Oscillants
Mécanique – 2ème BAC Sciences de la Vie et la Terre SVT
Introduction
Un système mécanique oscillant est un système qui effectue un mouvement périodique autour d’une position d’équilibre. Les oscillations peuvent être :
Libres (non amorties)
L’amplitude reste constante dans le temps
Amorties
L’amplitude diminue progressivement
1. Oscillations Libres Non Amorties
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + ω_0^2x = 0 \]
Équation différentielle caractéristique des oscillations harmoniques
Solution générale
\[ x(t) = X_m\cos(ω_0t + φ) \]
- Xm : Amplitude (m)
- ω0 : Pulsation propre (rad/s)
- φ : Phase initiale (rad)
Période et fréquence
\[ T_0 = \frac{2π}{ω_0} \]
Pour un système masse-ressort :
\[ ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Pour un pendule simple :
\[ ω_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} \]
Représentation graphique
2. Systèmes Oscillants Classiques
Masse-ressort horizontal
Pulsation propre : \[ ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Énergie mécanique : \[ E_m = \frac{1}{2}kX_m^2 \]
Pendule simple
Pour les petites oscillations :
Pulsation propre : \[ ω_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} \]
Période : \[ T_0 = 2π\sqrt{\frac{L}{g}} \]
3. Énergie dans les Oscillations
\[ E_m = E_c + E_p = \text{Constante} \]
Énergie cinétique
\[ E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mω_0^2X_m^2\sin^2(ω_0t + φ) \]
Maximale au passage par la position d’équilibre
Énergie potentielle
\[ E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kX_m^2\cos^2(ω_0t + φ) \]
Maximale aux extrémités du mouvement
Évolution des énergies
4. Oscillations Amorties
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{λ}{m}\frac{dx}{dt} + ω_0^2x = 0 \]
Régimes d’amortissement
- Faible amortissement : Oscillations avec amplitude décroissante
- Amortissement critique : Retour à l’équilibre le plus rapide
- Amortissement fort : Pas d’oscillations, retour lent à l’équilibre
Solution (amortissement faible)
\[ x(t) = X_me^{-\frac{λt}{2m}}\cos(ω_at + φ) \]
Avec ωa = pulsation amortie :
\[ ω_a = \sqrt{ω_0^2 – \left(\frac{λ}{2m}\right)^2} \]
Représentation graphique
5. Applications Pratiques
Suspension automobile
Utilise des ressorts et amortisseurs pour absorber les chocs
Horloge à balancier
Période constante grâce à de petites oscillations
