Notions de Logique Mathématique
1ère BAC Sciences Mathématiques
Introduction
La logique mathématique est l’outil fondamental pour construire des raisonnements valides et formuler des propositions claires. Elle permet d’analyser la véracité des énoncés et d’établir des démonstrations rigoureuses.
Objectifs
• Maîtriser les connecteurs logiques
• Évaluer des propositions
• Construire des tables de vérité
Applications
Démonstrations mathématiques
Algorithmique
Théorie des ensembles
Notations
∀ (quantificateur universel)
∃ (quantificateur existentiel)
⇒ (implication)
1. Propositions et Connecteurs Logiques
Une proposition est un énoncé qui est soit vrai (V) soit faux (F)
Connecteurs fondamentaux
| Connecteur | Symbole | Lecture |
|---|---|---|
| Négation | ¬, ~ | “non” |
| Conjonction | ∧ | “et” |
| Disjonction | ∨ | “ou” |
| Implication | ⇒ | “implique” |
Exemples de propositions
P : “3 est un nombre premier” (V)
Q : “Tout nombre pair est divisible par 4” (F)
R : “2+2=4 ou 3<5" (V)
Exercice : Traduire en symboles :
“Si x est pair et supérieur à 2, alors x n’est pas premier”
\[ (P(x) ∧ Q(x)) ⇒ R(x) \]
2. Tables de Vérité
Négation et Conjonction
| P | ¬P |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
| P | Q | P∧Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Implication et Équivalence
| P | Q | P⇒Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Remarque : P ⇒ Q est équivalent à ¬P ∨ Q
\[ P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q \]
3. Quantificateurs
Les quantificateurs permettent d’exprimer des propositions sur des ensembles
Quantificateur universel ∀
“Pour tout x ∈ E, P(x)” s’écrit :
\[ \forall x \in E,\ P(x) \]
Exemple : ∀ n ∈ ℕ, n ≥ 0
Quantificateur existentiel ∃
“Il existe x ∈ E tel que P(x)” s’écrit :
\[ \exists x \in E,\ P(x) \]
Exemple : ∃ n ∈ ℕ, n² = 4
Négation des quantificateurs
4. Raisonnements Mathématiques
Raisonnement direct
Pour démontrer P ⇒ Q :
- Supposer P vraie
- Démontrer Q sous cette hypothèse
Exemple : Si n est pair, alors n² est pair
Contraposée
P ⇒ Q est équivalente à ¬Q ⇒ ¬P
\[ P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P \]
Exemple : Si n² est impair, alors n est impair
Raisonnement par l’absurde
Pour démontrer P, on suppose ¬P et on aboutit à une contradiction.
Exemple : √2 est irrationnel
Supposons √2 rationnel ⇒ √2 = a/b (fraction irréductible)
⇒ 2b² = a² ⇒ a pair ⇒ b pair ⇒ Contradiction avec l’irréductibilité
Exercices Interactifs
Vrai ou Faux ?
1. (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ⇒ ¬Q)
2. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ x
Traduction logique
“Tout réel a un carré positif”
Défi : Nier la proposition :
“∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, |uₙ – l| < ε"
Pingback: مادة الرياضيات شعبة العلوم الرياضية السنة الثانية بكالوريا 1Bac SM – موقع التعليم الرائد