Les Racines Carrées
Mathématiques – 3ème Année Collège
Introduction
La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre de départ.
Exemple
√25 = 5 car 5 × 5 = 25
Important
√a existe seulement si a ≥ 0
1. Propriétés Fondamentales
Produit de racines
\[ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \]
Exemple :
√(9×4) = √9 × √4 = 3 × 2 = 6
Attention !
\[ \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \]
Exemple :
√(9+16) = 5 mais √9 + √16 = 7
2. Simplifier une Racine
Méthode en 3 étapes :
- Trouver le plus grand carré parfait qui divise le nombre
- Décomposer la racine en produit
- Simplifier la racine du carré parfait
Exemple : Simplifier √72
1. 72 = 36 × 2 (36 est le plus grand carré parfait)
2. √72 = √(36 × 2)
3. √72 = √36 × √2 = 6√2
Carrés parfaits à connaître :
| Nombre | Racine | Nombre | Racine |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 36 | 6 |
| 4 | 2 | 49 | 7 |
| 9 | 3 | 64 | 8 |
| 16 | 4 | 81 | 9 |
| 25 | 5 | 100 | 10 |
3. Calculs avec des Racines
Addition
\[ a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} \]
Exemple :
3√5 + 2√5 = 5√5
√18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2
Multiplication
\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \]
Exemple :
√3 × √12 = √36 = 6
2√5 × 3√2 = 6√10
Exercice Pratique
Simplifier l’expression : 2√27 + 3√12 – √75
