Généralités sur les Fonctions
Mathématiques – Tronc Commun Science
Introduction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ (domaine) un unique élément d’un ensemble d’arrivée. En technologie, les fonctions modélisent des phénomènes physiques, des transformations de signaux, etc.
Notation
f : x ↦ f(x)
ou
y = f(x)
Vocabulaire
• Domaine
• Image
• Antécédent
Représentation
• Graphique
• Tableau
• Formule
1. Notion de Fonction
Définitions
Domaine de définition : Ensemble des x où f(x) existe.
Image : f(a) est l’image de a par f.
Antécédent : Tout x tel que f(x) = b est un antécédent de b.
Courbe représentative : Ensemble des points (x, f(x)).
Machine à fonctions
f(2) = 4
Exemple
Soit f définie par :
f(x) = 2x + 3
• f(0) = 3
• f(-1) = 1
• L’image de 2 est 7
• Les antécédents de 5 :
2x + 3 = 5 ⇒ x = 1
• Domaine de définition : ℝ
2. Représentation Graphique
Lecture graphique
Caractéristiques
Sens de variation :
- Croissante : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
- Décroissante : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
- Constante : f(x) = k
Parité :
- Paire : f(-x) = f(x) (symétrie axiale)
- Impaire : f(-x) = -f(x) (symétrie centrale)
3. Opérations sur les Fonctions
Combinaisons de fonctions
Somme
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Domaine : Df ∩ Dg
Composée
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Domaine : x ∈ Dg et g(x) ∈ Df
Produit
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
Domaine : Df ∩ Dg
Exercice guidé
Soient f(x) = x + 2 et g(x) = √x
1. (f + g)(x) = x + 2 + √x
Domaine : [0, +∞[
2. (f ∘ g)(x) = √x + 2
Domaine : [0, +∞[
3. (g ∘ f)(x) = √(x + 2)
Domaine : [-2, +∞[
4. Applications Technologiques
Traitement du signal
Les fonctions permettent de représenter et transformer des signaux électriques, sonores, etc.
Automatisme
Les systèmes automatisés utilisent des fonctions pour transformer des entrées en sorties.
Problème pratique
Un capteur de température fournit une tension V(T) = 0.01T + 0.5 (V en volts, T en °C). Cette tension est amplifiée par un circuit électronique avec une fonction de transfert A(V) = 20V.
1. Exprimer A en fonction de T :
A(T) = 20 × (0.01T + 0.5)
A(T) = 0.2T + 10
2. Calculer A pour T=25°C :
A(25) = 0.2×25 + 10
A(25) = 5 + 10 = 15V
