Exercices : Triangles Rectangles et Trigonométrie 📐
Mathématiques – 3ème Année Collège
Exercice 1 : Pythagore 🔺
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.
Solution :
D’après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
Donc BC = √100 = 10 cm
Exercice 2 : Réciproque de Pythagore 🔄
Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle? Justifier.
Solution :
On vérifie : 13² = 169 et 5² + 12² = 25 + 144 = 169
Comme 13² = 5² + 12², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l’hypoténuse est le côté de 13 cm).
Exercice 3 : Cosinus d’un angle 🔄
DEF est un triangle rectangle en E. On donne DE = 4 cm et DF = 5 cm. Calculer cos(ÊDF).
Solution :
cos(ÊDF) = côté adjacent / hypoténuse = DE/DF = 4/5 = 0,8
Exercice 4 : Calcul d’angle 🔍
Dans un triangle rectangle GHI rectangle en H, on donne GH = 7 cm et GI = 14 cm. Calculer la mesure de l’angle Ĝ arrondie au degré.
Solution :
cos(Ĝ) = GH/GI = 7/14 = 0,5
Donc Ĝ = cos⁻¹(0,5) = 60°
Exercice 5 : Sinus et côté manquant 📏
JKL est un triangle rectangle en K avec angle Ĵ = 30° et JL = 10 cm. Calculer KL.
Solution :
sin(Ĵ) = côté opposé / hypoténuse = KL/JL
Donc KL = JL × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5 cm
Exercice 6 : Tangente d’un angle 📐
MNO est un triangle rectangle en N avec MN = 5 cm et NO = 12 cm. Calculer tan(ÔMN).
Solution :
tan(ÔMN) = côté opposé / côté adjacent = NO/MN = 12/5 = 2,4
Exercice 7 : Problème concret 🏗️
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Elle forme un angle de 60° avec le sol. À quelle hauteur du mur l’échelle arrive-t-elle?
Solution :
sin(60°) = hauteur / longueur échelle
hauteur = 5 × sin(60°) ≈ 5 × 0,866 ≈ 4,33 m
Exercice 8 : Cercle circonscrit ⭕
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm. Quel est le rayon du cercle circonscrit?
Solution :
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse, donc le rayon est la moitié de l’hypoténuse : 13/2 = 6,5 cm
Exercice 9 : Double application ✖️
PQR est un triangle rectangle en P. On donne PQ = 8 cm et angle Q̂ = 40°. Calculer PR et QR.
Solution :
1) tan(40°) = PR/PQ ⇒ PR = 8 × tan(40°) ≈ 8 × 0,839 ≈ 6,71 cm
2) cos(40°) = PQ/QR ⇒ QR = 8 / cos(40°) ≈ 8 / 0,766 ≈ 10,44 cm
PR ≈ 6,71 cm et QR ≈ 10,44 cm
Exercice 10 : Défi trigonométrique 🏆
Un observateur voit le sommet d’un arbre sous un angle de 45°. En reculant de 10 m, l’angle devient 30°. Calculer la hauteur de l’arbre.
Solution :
Soit h la hauteur et d la distance initiale :
1) tan(45°) = h/d ⇒ h = d (car tan(45°)=1)
2) tan(30°) = h/(d+10) ⇒ h = (d+10)/√3
En égalisant : d = (d+10)/√3 ⇒ d√3 = d + 10 ⇒ d(√3-1) = 10
d = 10/(√3-1) ≈ 13,66 m ⇒ h ≈ 13,66 m
