10 Exercices Avancés sur les Nombres Complexes
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Racines cubiques complexes
Résoudre dans ℂ : \( z^3 = 4\sqrt{2}(-1 + i) \) et représenter les solutions graphiquement.
Solution :
- Écrire sous forme exponentielle : \( -1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{3π}{4}} \)
- Solutions : \( z_k = 2e^{i(\frac{π}{4} + \frac{2kπ}{3})} \) pour k=0,1,2
- Forme algébrique : \( z_0 = 1+i \), \( z_1 = -\sqrt{2}+i\sqrt{2} \), \( z_2 = \sqrt{3}-(1+\sqrt{3})i \)
Exercice 2 : Transformation géométrique
Déterminer l’image de la droite \( y = x \) par la transformation \( f(z) = \frac{z-i}{z+i} \).
Solution :
L’image est le cercle unité privé du point 1.
Exercice 3 : Somme trigonométrique
Calculer \( S = \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left(\frac{2kπ}{n} + θ\right) \) en utilisant les complexes.
Solution :
- Considérer \( S = Re\left(e^{iθ}\sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{2kπ}{n}}\right) \)
- La somme des racines n-ièmes est nulle
- Donc \( S = 0 \) pour \( n ≥ 2 \)
Exercice 4 : Équation avec conjugué
Résoudre \( z^2 = \overline{z} \) dans ℂ.
Solution :
- Poser \( z = re^{iθ} \) ⇒ \( r^2e^{i2θ} = re^{-iθ} \)
- Cas \( r = 0 \) : solution \( z = 0 \)
- Cas \( r ≠ 0 \) : \( re^{i3θ} = 1 \) ⇒ \( r = 1 \) et \( θ = \frac{2kπ}{3} \)
- Solutions : \( 0, 1, j, j^2 \)
Exercice 5 : Lieu géométrique
Déterminer le lieu des points \( M(z) \) tels que \( \arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right) = \frac{π}{4} \).
Solution :
C’est un arc de cercle d’angle au centre \( \frac{π}{2} \) entre les points 1 et -1.
Exercice 6 : Suite complexe
Soit \( z_{n+1} = \frac{z_n + |z_n|}{2} \) avec \( z_0 = 8 + 6i \). Étudier la convergence.
Solution :
- Montrer que \( |z_n| \) est constante (\( = 10 \))
- Suite définie par \( z_{n+1} = \frac{z_n + 10}{2} \)
- Converge vers 10 (point fixe)
Exercice 7 : Polynômes et complexes
Montrer que si \( P \) est un polynôme réel et \( P(z) = 0 \), alors \( P(\overline{z}) = 0 \).
Solution :
- Écrire \( P(z) = \sum a_k z^k = 0 \) avec \( a_k ∈ ℝ \)
- Prendre le conjugué : \( \sum a_k \overline{z}^k = \overline{P(z)} = 0 \)
- Donc \( P(\overline{z}) = 0 \)
Exercice 8 : Inégalité complexe
Montrer que pour tout \( z ∈ ℂ \), \( |1 + z| + |1 – z| ≥ 2 \).
Solution :
- Inégalité triangulaire : \( |1+z| + |1-z| ≥ |(1+z)+(1-z)| = 2 \)
- Interprétation géométrique : somme des distances aux points 1 et -1
Exercice 9 : Formule d’Euler avancée
Exprimer \( \cos^5 θ \) en fonction de \( \cos kθ \) pour \( k = 1 \) à \( 5 \).
Solution :
\( \cos^5 θ = \frac{1}{16}\left(10\cosθ + 5\cos(3θ) + \cos(5θ)\right) \)
Obtenu en développant \( \left(\frac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2}\right)^5 \) avec la formule du binôme.
Exercice 10 : Application géométrique
Montrer que les images des racines de \( z^n = (1+z)^n \) forment un polygone régulier.
Solution :
- Écrire \( \left(\frac{z}{1+z}\right)^n = 1 \)
- Solutions : \( \frac{z_k}{1+z_k} = e^{i\frac{2kπ}{n}} \) ⇒ \( z_k = \frac{e^{i\frac{2kπ}{n}}}{1-e^{i\frac{2kπ}{n}}} \)
- Montrer qu’elles sont sur une droite et équidistantes
