Exercices – Angles Inscrits et Angles au Centre
Exercice 1 : Calcul d’Angles
Sur la figure ci-dessous, O est le centre du cercle et l’angle au centre AOB mesure 80°.
1. Calculer la mesure de l’angle inscrit ACB.
2. Quelle est la nature du triangle AOC ? Justifier.
3. Calculer les angles du triangle AOC.
1. Utiliser la propriété fondamentale : angle au centre = 2 × angle inscrit
2. Penser que OA et OC sont des rayons du cercle
3. Utiliser la somme des angles dans un triangle (180°)
Solution :
1. Angle inscrit ACB :
angle au centre = 2 × angle inscrit ⇒ 80° = 2 × β ⇒ β = 40°
2. Nature du triangle AOC :
OA = OC (rayons du cercle) donc AOC est isocèle en O.
3. Angles du triangle AOC :
• Angle en O : 80° (angle au centre)
• Angles en A et C : (180° – 80°)/2 = 50° chacun
Exercice 2 : Figure Complexe
Sur la figure ci-dessous, O est le centre du cercle. L’angle inscrit BAC mesure 25° et l’angle inscrit BDC mesure 35°.
1. Calculer l’angle au centre BOC interceptant l’arc BC.
2. En déduire la mesure de l’angle inscrit BEC.
3. Calculer l’angle AÊD.
1. BAC et BDC interceptent le même arc BC que BOC
2. BEC intercepte aussi l’arc BC
3. AÊD est un angle du quadrilatère AEDB
Solution :
1. Angle au centre BOC :
BAC intercepte l’arc BC ⇒ BOC = 2 × BAC = 2 × 25° = 50°
(On peut vérifier avec BDC : BOC = 2 × BDC = 2 × 35° = 70° → Incohérence !)
Erreur dans l’énoncé : les angles BAC et BDC ne peuvent pas intercepter le même arc s’ils sont différents.
Supposons que seul BAC intercepte l’arc BC : BOC = 50°
2. Angle inscrit BEC :
BEC intercepte l’arc BC ⇒ BEC = BOC / 2 = 50° / 2 = 25°
3. Angle AÊD :
Dans le quadrilatère AEDB : AÊD = 180° – (BAC + BDC) = 180° – (25° + 35°) = 120°
Exercice 3 : Problème de Géométrie
On considère un cercle de centre O et trois points A, B, C sur ce cercle tels que l’angle au centre AOB mesure 110° et l’angle inscrit ACB mesure 40°.
1. Faire une figure en respectant les mesures données.
2. Calculer la mesure de l’angle inscrit ABC.
3. Calculer la mesure de l’angle au centre AOC.
4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
1. Placer A et B puis C selon l’angle ACB
2. Utiliser la somme des angles dans un triangle
3. L’angle AOC intercepte l’arc AC
4. Analyser les angles du triangle ABC
Solution :
1. Figure :
2. Angle ABC :
Dans le triangle ABC : ABC = 180° – BAC – ACB
BAC intercepte l’arc BC : angle au centre BOC = 2 × BAC
Mais BOC = 360° – AOB – AOC (il manque des informations)
Problème dans l’énoncé : les données sont insuffisantes pour résoudre complètement l’exercice.
Supposons que AOB intercepte l’arc AB et ACB intercepte l’arc AB :
Alors AOB = 2 × ACB ⇒ 110° = 2 × 40° = 80° → Contradiction !
L’énoncé doit être corrigé pour être cohérent.
