Solution :
\( 3\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} \), \( 2\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\( 3\vec{u} + 2\vec{v} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ -3+8 \\ 9+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} \)

Solution :
\( \|\vec{w}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \)

Solution :
\( AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2 + (-1-3)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \)

Solution :
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (1×4) + (-3×0) + (2×-1) = 4 + 0 – 2 = 2 \)

Solution :
On cherche k tel que \( \vec{b} = k\vec{a} \) :
\( -6 = 2k \) ⇒ \( k = -3 \)
\( 3 = -1×k \) ⇒ \( k = -3 \)
\( -9 = 3k \) ⇒ \( k = -3 \)
⇒ Les vecteurs sont colinéaires avec k = -3

Solution :
\( \vec{p} \cdot \vec{q} = (2×3) + (1×-5) + (-1×-1) = 6 – 5 + 1 = 2 \)
Le produit scalaire n’est pas nul ⇒ les vecteurs ne sont pas orthogonaux

Solution :
1. \( \|\vec{v}\| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-8)^2} = 10 \)
2. Vecteur unitaire : \( \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0 \\ -0.8 \end{pmatrix} \)

Solution :
\( I \left( \frac{1+7}{2}, \frac{-3+1}{2}, \frac{5+(-3)}{2} \right) = (4, -1, 1) \)

Solution :
1. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = (1×0)+(0×2)+(1×0) = 0 \)
2. \( \|\vec{u}\| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2} \), \( \|\vec{v}\| = \sqrt{0+4+0} = 2 \)
3. \( \cosθ = \frac{0}{\sqrt{2}×2} = 0 \) ⇒ θ = 90°

Solution :
1. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \)
2. \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (3×1)+(3×-1)+(3×-3) = 3 – 3 – 9 = -9 \)
3. Le produit scalaire n’est pas nul ⇒ les vecteurs ne sont pas orthogonaux