Introduction

Les vecteurs dans l’espace étendent les notions du plan à la 3D. Ils sont essentiels pour décrire des forces, des déplacements ou des orientations dans l’espace physique.

1. Définitions de base

Vecteur : Objet mathématique caractérisé par :

• Une direction
• Un sens
• Une norme (longueur)

Notation : \( \vec{u} \) ou \( \overrightarrow{AB} \) (vecteur d’origine A, d’extrémité B)

Égalité vectorielle : \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) ⇔ ABDC est un parallélogramme

2. Opérations sur les vecteurs

Addition vectorielle

Règle du parallélogramme : \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{w} \)

Multiplication par un scalaire

Pour \( k \in \mathbb{R} \), \( k\vec{u} \) a :

• Même direction que \( \vec{u} \)
• Norme multipliée par |k|
• Sens conservé si k > 0, inversé si k < 0

Relation de Chasles

\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \)

3. Repérage dans l’espace

Dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) :

Coordonnées : Tout vecteur \( \vec{u} \) s’écrit \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \)

Norme : \( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)

Distance AB : \( AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2} \)

4. Produit scalaire

Définition : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \)

Propriétés

• Symétrie : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)
• Bilinéarité
• \( \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \)

Expression analytique

Si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{pmatrix} \) :

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’ \)

5. Applications géométriques

Colinéarité

\( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires ⇔ \( \exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v} \)

Orthogonalité

\( \vec{u} \perp \vec{v} \) ⇔ \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)

Détermination d’angles

\( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \)

Exercice 1: Calcul vectoriel

Soient \( \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \). Calculer \( 2\vec{u} – 3\vec{v} \).

Exercice 2: Norme et distance

Calculer AB pour A(1,2,3) et B(4,6,1).

Exercice 3: Produit scalaire

Calculer \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) pour \( \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \).

Exercice 4: Colinéarité

Les vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \) sont-ils colinéaires ?

Exercice 5: Orthogonalité

Montrer que \( \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) sont orthogonaux.