Les Puissances
Mathématiques – 3ème Année Collège
Introduction
Une puissance est une manière concise d’écrire une multiplication répétée. Elle est composée de deux éléments : la base et l’exposant.
Définition
an = a × a × … × a (n fois)
23 = 2 × 2 × 2 = 8
Cas particuliers
a1 = a
a0 = 1 (a ≠ 0)
Puissances de 10
10n = 1 suivi de n zéros
10-n = 0,00…1 (n chiffres)
1. Opérations sur les Puissances
Produit de puissances
Quotient de puissances
Puissance de puissance
Puissance d’un produit
2. Puissances Négatives
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]
Définition
Notation scientifique
3. Applications des Puissances
Notation scientifique
Nombres très grands :
\[ 150\,000\,000 = 1,5 \times 10^8 \]Nombres très petits :
\[ 0,000\,000\,007 = 7 \times 10^{-9} \]Préfixes scientifiques
1 kilomètre (km) = 103 m
1 milligramme (mg) = 10-3 g
1 nanoseconde (ns) = 10-9 s
Exemple concret
La masse de la Terre est d’environ 5,97 × 1024 kg.
La taille d’un atome d’hydrogène est d’environ 5,3 × 10-11 m.
4. Méthodes de Calcul
Simplification d’expressions
Comparaison de nombres
Comparer 2100 et 1030 :
210 ≈ 103 donc 2100 ≈ (103)10 = 1030
En réalité 2100 ≈ 1,27 × 1030 > 1030
Astuces de calcul
1) Pour calculer 84 :
8 = 23 donc 84 = (23)4 = 212 = 4096
2) Pour calculer 0,1252 :
0,125 = 1/8 = 2-3 donc 0,1252 = (2-3)2 = 2-6 = 1/64
