Racines Carrées
Mathématiques – 3ème Année Collège
Introduction
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a. On la note √a.
Définition
Si √a = b alors b² = a
Exemple
√9 = 3 car 3² = 9
Attention
√a existe seulement si a ≥ 0
1. Propriétés des Racines Carrées
\[ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \]
Propriétés principales
\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b \neq 0) \]
\[ (\sqrt{a})^2 = a \]
\[ \sqrt{a^2} = |a| \]
Exemples pratiques
\[ \sqrt{25 \times 4} = \sqrt{25} \times \sqrt{4} = 5 \times 2 = 10 \]
\[ \sqrt{\frac{36}{9}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2 \]
2. Simplification des Racines
Méthode
Pour simplifier √a :
- Décomposer a en facteurs premiers
- Repérer les carrés parfaits
- Appliquer √(b²×c) = b√c
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \]
Exercice interactif
Simplifier :
\[ \sqrt{72} = \]
3. Opérations avec Racines
\[ a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c} \]
Addition et Soustraction
On ne peut additionner que des racines identiques :
\[ 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \]
\[ 4\sqrt{3} – \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \]
Attention :
√a + √b ≠ √(a+b)
Multiplication et Division
\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \]
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]
\[ \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a \]
4. Applications Pratiques
Géométrie
La diagonale d’un carré de côté c est d = c√2
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle :
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
