Introduction

Le dénombrement est une branche des mathématiques qui permet de compter le nombre de configurations possibles dans des situations discrètes. Il est fondamental en probabilités et en analyse combinatoire.

1. Principe fondamental du dénombrement

Énoncé : Si une action A peut se faire de m façons et une action B de n façons, alors :

• Pour A ET B (successivement) : m × n possibilités
• Pour A OU B (alternativement) : m + n possibilités

Exemple : 3 chemins pour aller à l’école et 2 retours ⇒ 3×2 = 6 trajets possibles

2. Arrangements

Nombre de façons d’ordonner k éléments parmi n :

\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Cas particulier : Permutations (k = n) ⇒ \( P_n = n! \)

Exemple : Nombre de podiums possibles avec 8 coureurs (top 3) : \( A_8^3 = 8×7×6 = 336 \)

3. Combinaisons

Nombre de façons de choisir k éléments parmi n (sans ordre) :

\( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Propriétés :

• \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \)
• Formule de Pascal : \( \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \)

4. Applications classiques

Tirages successifs

Avec/sans remise, ordonné/non ordonné

Problèmes de partitions

Nombre de façons de répartir n objets dans k groupes

Binôme de Newton

\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \)

Exercice 1: Principe fondamental

Un restaurant propose 3 entrées, 5 plats et 2 desserts. Combien de menus différents peut-on composer ?

Exercice 2: Arrangements

Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former avec 1,2,3,4,5 ?

Exercice 3: Combinaisons

De combien de façons peut-on choisir 4 cartes dans un jeu de 32 ?

Exercice 4: Binôme de Newton

Développer \( (x+2)^4 \) en utilisant la formule du binôme.

Exercice 5: Synthèse

Dans une classe de 30 élèves, on veut former :
1. Un bureau (président, secrétaire, trésorier)
2. Une équipe de 3 représentants
Calculer le nombre de possibilités pour chaque cas.