Introduction

Une rotation est une transformation géométrique qui fait tourner tous les points du plan autour d’un point fixe appelé centre selon un angle donné.

1. Définition Formelle

Soit Ω un point du plan et θ un angle. La rotation r de centre Ω et d’angle θ transforme tout point M en M’ tel que :

• ΩM = ΩM’ (conservation des distances)
• Angle(ΩM, ΩM’) = θ

Notation : r(Ω, θ)

2. Propriétés Fondamentales

Une rotation possède plusieurs propriétés importantes :

1. Bijective : Chaque point a un unique antécédent et image
2. Isométrie : Conserve les distances (AB = A’B’)
3. Conservation des angles : Angle(AB,AC) = Angle(A’B’,A’C’)
4. Orientation : Conserve l’orientation des figures
5. Composition : r(Ω,θ) ∘ r(Ω,φ) = r(Ω,θ+φ)

3. Expression Complexe

Dans le plan complexe, une rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ s’exprime par :

z’ – ω = e^iθ(z – ω)

Cas particulier : Si Ω est l’origine (ω = 0), alors z’ = e^iθz

Exemple : Rotation de π/2 (90°) : z’ = iz

4. Matrice de Rotation

Dans un repère orthonormé, la rotation de centre O et d’angle θ a pour matrice :

\( \begin{pmatrix} \cosθ & -\sinθ \\ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix} \)

Ainsi, si \( \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosθ & -\sinθ \\ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)

5. Applications Géométriques

Construction de figures : Pentagone régulier, rosaces…

Problèmes classiques :

• Détermination d’angles
• Preuve d’alignement ou d’orthogonalité
• Résolution de problèmes de lieux géométriques

Exemple : L’image d’une droite par une rotation est une droite faisant un angle θ avec la première.

Exercice 1: Rotation de base

Soit A(2;3). Déterminer les coordonnées de A’, image de A par la rotation de centre O(0;0) et d’angle π/2.

Exercice 2: Rotation complexe

Soit le point M d’affixe z = 1+i. Déterminer l’affixe de M’ image de M par r(O, π/3).

Exercice 3: Composition

Soit r1 = r(O,π/4) et r2 = r(O,π/6). Quelle est la nature de r2 ∘ r1 ?