📐 Calcul Trigonométrique
1ère Bac Sciences Mathématiques SM
1. Cercle Trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté positivement (sens inverse des aiguilles d’une montre).
- Abscisse : \(\cos(\theta)\)
- Ordonnée : \(\sin(\theta)\)
- \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)
θ
(cosθ, sinθ)
2. Valeurs Remarquables
| Angle | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\frac{\pi}{6}\) (30°) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(\frac{\pi}{4}\) (45°) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(\frac{\pi}{3}\) (60°) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
3. Formules Fondamentales
Relation fondamentale
\(\sin^2x + \cos^2x = 1\)
Formules d’addition
\(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
\(\cos(a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b\)
Formules de duplication
\(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\)
\(\cos(2x) = \cos^2x – \sin^2x\)
4. Équations Trigonométriques
Équation de base : \(\sin x = \sin a\)
Solutions :
\(x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi – a + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
Méthode de résolution
- Se ramener à une équation de base
- Appliquer les formules de solutions
- Donner les solutions dans l’intervalle demandé
🔄 Exercice Interactif
Résoudre dans \([0, 2\pi]\) : \(2\cos^2 x – \cos x – 1 = 0\)
1. Poser \(X = \cos x\), l’équation devient :
2. Solutions pour X :
3. Solutions dans \([0, 2\pi]\) :
