Introduction

Le produit scalaire dans l’espace est une opération algébrique qui étend la notion du plan à la 3D. Il permet de calculer des angles, des longueurs et d’étudier l’orthogonalité entre vecteurs.

1. Définition géométrique

Pour deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) :

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta) \)

où θ est l’angle entre les deux vecteurs.

Cas particuliers :

• Si \( \vec{u} \perp \vec{v} \) ⇒ \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)
• Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires ⇒ \( |\vec{u} \cdot \vec{v}| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \)

2. Expression analytique

Dans un repère orthonormé, si \( \vec{u} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}x’ \\ y’ \\ z’\end{pmatrix} \) :

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’ \)

Norme d’un vecteur :

\( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)

3. Propriétés algébriques

• Symétrie : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)
• Bilinéarité : Distributif par rapport à l’addition
• Positive : \( \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0 \)
• Identité remarquable : \( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} \)

4. Applications géométriques

Angle entre deux vecteurs

\( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} \)

Orthogonalité

Test : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)

Distance point-plan

Pour un plan d’équation \( ax + by + cz + d = 0 \) et un point \( M(x_0,y_0,z_0) \) :

\( d(M,P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Exercice 1: Calcul de produit scalaire

Calculer \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) pour \( \vec{u} \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} \).

Exercice 2: Orthogonalité

Montrer que \( \vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 2\end{pmatrix} \) sont orthogonaux.

Exercice 3: Angle entre vecteurs

Calculer l’angle entre \( \vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \).

Exercice 4: Distance point-plan

Calculer la distance du point A(1,-2,3) au plan P: 2x – y + 2z – 5 = 0.

Exercice 5: Synthèse

Soient A(1,0,1), B(2,-1,3), C(0,2,1).
1. Calculer \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \)
2. En déduire l’angle Â