✖️ Le Produit Vectoriel dans l’Espace
1ère Bac Sciences Mathématiques SM
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l’espace. Le produit vectoriel de \(\vec{u}\) par \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \wedge \vec{v}\), est l’unique vecteur :
- Orthogonal à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
- De norme \(\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\sin(\theta)|\) où θ est l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
- Tel que \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})\) forme une base directe
Propriétés Clés
Anticommutativité
\(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}\)
Bilinéarité
\((\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}) \wedge \vec{w} = \lambda(\vec{u}\wedge\vec{w}) + \mu(\vec{v}\wedge\vec{w})\)
Double produit
\(\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v} – (\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w}\)
Expression dans une BON
Dans une base orthonormée directe \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) :
Si \(\vec{u} \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2\end{pmatrix}\), alors :
Astuce : Pour retenir, pensez aux déterminants 2×2 en barrant tour à tour chaque ligne.
Interprétation Géométrique
Norme : Aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
\(\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\sin(\theta)|\)
Orientation : Règle de la main droite
Applications
1. Vecteur normal
Pour trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs directeurs
2. Aire des figures
Aire d’un triangle = \(\frac{1}{2}\|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\|\)
3. Moment d’une force
En physique : \(\vec{M} = \vec{r} \wedge \vec{F}\)
Exercice 1: Calcul de produit vectoriel
Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) pour \(\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\).
Exercice 2: Vecteur normal
Trouver un vecteur normal au plan passant par A(1,0,1), B(2,-1,3) et C(0,2,0).
Exercice 3: Aire d’un triangle
Calculer l’aire du triangle ABC avec A(0,0,0), B(1,2,3) et C(-1,1,2).
