Vecteurs et Translations
Mathématiques – 3ème Année Collège
Introduction
Un vecteur est un outil mathématique qui permet de représenter une grandeur ayant à la fois une direction, un sens et une longueur. En géométrie, les vecteurs sont utilisés pour décrire des translations.
Caractéristiques
• Direction
• Sens
• Longueur (norme)
Notation
\(\overrightarrow{AB}\)
ou \(\vec{u}\)
Translation
Déplacement selon un vecteur
1. Définition et Représentation
Représentation graphique
Caractéristiques
Direction : L’orientation de la droite (horizontale, verticale, oblique)
Sens : De A vers B (flèche) ou de B vers A
Norme : Longueur AB notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\)
Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
2. Translation
Définition
La translation qui transforme A en B est la transformation qui associe à tout point M du plan le point M’ tel que :
On dit que M’ est l’image de M par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Propriétés
- Conserve les longueurs
- Conserve les angles
- Conserve les aires
Exemple de translation
3. Composantes d’un Vecteur
Dans un repère
Dans un repère orthonormé (O, I, J), un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour composantes :
Exemple : Si A(2;3) et B(5;7) alors :
Représentation graphique
Norme du vecteur
4. Applications Pratiques
Exercice typique
Soient les points A(1;2), B(4;6) et C(3;-1). Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Solution :
Dans un parallélogramme, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
Soit D(x;y), alors \(\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 3-x \\ -1-y \end{pmatrix}\)
Donc : \(3-x = 3 \Rightarrow x = 0\)
et \(-1-y = 4 \Rightarrow y = -5\)
D a pour coordonnées (0;-5)
Dans la vie courante
Les vecteurs sont utilisés pour :
- Décrire des déplacements
- Modéliser des forces en physique
- Programmer des mouvements en informatique
