Systèmes Mécaniques Oscillants
Mécanique – 2ème BAC Sciences Mathématiques SMA
Introduction
Un système mécanique oscillant est un système qui effectue un mouvement périodique autour d’une position d’équilibre. Les oscillations peuvent être :
Libres (non amorties)
L’amplitude reste constante dans le temps
Amorties
L’amplitude diminue progressivement
1. Oscillations Libres Non Amorties
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + ω_0^2x = 0 \]
Équation différentielle caractéristique des oscillations harmoniques
Solution générale
\[ x(t) = X_m\cos(ω_0t + φ) \]
- Xm : Amplitude (m)
- ω0 : Pulsation propre (rad/s)
- φ : Phase initiale (rad)
Période et fréquence
\[ T_0 = \frac{2π}{ω_0} \]
Pour un système masse-ressort :
\[ ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Pour un pendule simple :
\[ ω_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} \]
Représentation graphique
2. Systèmes Oscillants Classiques
Masse-ressort horizontal
Pulsation propre : \[ ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Énergie mécanique : \[ E_m = \frac{1}{2}kX_m^2 \]
Pendule simple
Pour les petites oscillations :
Pulsation propre : \[ ω_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} \]
Période : \[ T_0 = 2π\sqrt{\frac{L}{g}} \]
3. Énergie dans les Oscillations
\[ E_m = E_c + E_p = \text{Constante} \]
Énergie cinétique
\[ E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mω_0^2X_m^2\sin^2(ω_0t + φ) \]
Maximale au passage par la position d’équilibre
Énergie potentielle
\[ E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kX_m^2\cos^2(ω_0t + φ) \]
Maximale aux extrémités du mouvement
Évolution des énergies
4. Oscillations Amorties
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{λ}{m}\frac{dx}{dt} + ω_0^2x = 0 \]
Régimes d’amortissement
- Faible amortissement : Oscillations avec amplitude décroissante
- Amortissement critique : Retour à l’équilibre le plus rapide
- Amortissement fort : Pas d’oscillations, retour lent à l’équilibre
Solution (amortissement faible)
\[ x(t) = X_me^{-\frac{λt}{2m}}\cos(ω_at + φ) \]
Avec ωa = pulsation amortie :
\[ ω_a = \sqrt{ω_0^2 – \left(\frac{λ}{2m}\right)^2} \]
Représentation graphique
5. Applications Pratiques
Suspension automobile
Utilise des ressorts et amortisseurs pour absorber les chocs
Horloge à balancier
Période constante grâce à de petites oscillations
