Rotation d’un Solide Indéformable autour d’un Axe Fixe
Mécanique – 1ère BAC Sciences
Introduction
La rotation d’un solide autour d’un axe fixe est un mouvement fondamental en mécanique où tous les points du solide décrivent des trajectoires circulaires autour d’un même axe immobile.
Exemples courants
Caractéristiques
Décrite par des grandeurs angulaires
1. Grandeurs Cinématiques
\[ θ(t) \quad ω(t) = \frac{dθ}{dt} \quad γ(t) = \frac{dω}{dt} \]
Position angulaire
\[ θ \text{ (rad)} \]
Angle de rotation par rapport à une position de référence
Vitesse angulaire
\[ ω \text{ (rad/s)} \]
Taux de variation de la position angulaire
Relation avec les grandeurs linéaires
\[ v = R·ω \]
Vitesse linéaire
\[ a_t = R·γ \]
Accélération tangentielle
\[ a_n = R·ω^2 \]
Accélération normale
2. Dynamique de Rotation
\[ ΣM = I·γ \]
L’analogue de F=ma pour la rotation
Moment d’inertie
\[ I = Σm_i r_i^2 \text{ (kg·m²)} \]
Résistance du solide à la rotation
Moment de force
\[ M = F·d \text{ (N·m)} \]
Capacité d’une force à faire tourner un solide
Moments d’inertie courants
Anneau
Disque
Tige
3. Énergie Cinétique de Rotation
\[ E_{c,rot} = \frac{1}{2}Iω^2 \]
Analogue à \( E_c = \frac{1}{2}mv^2 \) pour la translation
Théorème de Huygens
\[ I = I_G + Md^2 \]
Relation entre moments d’inertie pour axes parallèles
Comparaison translation/rotation
| Translation | Rotation |
|---|---|
| x (m) | θ (rad) |
| v (m/s) | ω (rad/s) |
| a (m/s²) | γ (rad/s²) |
| m (kg) | I (kg·m²) |
| F (N) | M (N·m) |
4. Applications
Mouvement de poulies
Volants d’inertie
Exercice typique
Une tige homogène de longueur L = 1 m et de masse M = 2 kg peut tourner autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre. On applique une force F = 5 N perpendiculaire à la tige à une distance d = 0.3 m de l’axe.
1. Calculer le moment d’inertie de la tige.
2. Déterminer le moment de la force appliquée.
3. En déduire l’accélération angulaire.
