Oscillations Libres d’un Circuit RLC Série
2ème BAC Sciences Mathématiques A
1. Mise en Équation
Circuit RLC série
Loi des mailles : uR + uL + uC = 0
Avec :
- uR = Ri
- uL = Ldi/dt
- uC = q/C
Équation différentielle
En dérivant et avec i = dq/dt :
Ou en termes de tension :
\[ \frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0 \]Paramètres clés :
- Coefficient d’amortissement : α = R/(2L)
- Pulsation propre : ω0 = 1/√(LC)
- Pseudo-pulsation : ω = √(ω02 – α2)
2. Régimes des Oscillations
Régime pseudo-périodique
Condition : R < 2√(L/C)
Solution :
\[ q(t) = Q_0e^{-\alpha t}\cos(\omega t + \phi) \]Régime apériodique
Condition : R > 2√(L/C)
Solution :
\[ q(t) = Ae^{r_1t} + Be^{r_2t} \]Régime critique
Condition : R = 2√(L/C)
Solution :
\[ q(t) = (At + B)e^{-\alpha t} \]C’est le régime de retour le plus rapide à l’équilibre
3. Bilan Énergétique
Énergies stockées
Énergie magnétique :
\[ E_L = \frac{1}{2}Li^2 \]Énergie électrique :
\[ E_C = \frac{1}{2}Cu_C^2 = \frac{q^2}{2C} \]Dissipation d’énergie
Puissance dissipée :
\[ P_J = Ri^2 \]Bilan :
\[ \frac{d}{dt}(E_L + E_C) = -P_J \]Application : Pour L = 0.1H, C = 10μF, R = 50Ω
1. Vérifier le régime
2. Calculer la pseudo-période
4. Facteur de Qualité
Mesure la persistance des oscillations :
Interprétations :
- Nombre d’oscillations visibles
- Rapport énergie stockée/énergie dissipée
Application numérique
Pour L = 0.5H, C = 2μF, R = 100Ω :
\[ Q = \frac{1}{100}\sqrt{\frac{0.5}{2 \times 10^{-6}}} \approx 5 \]⇒ Environ 5 oscillations visibles
Décrément logarithmique
Mesure de l’amortissement :
\[ \delta = \ln\left(\frac{q(t)}{q(t+T)}\right) = \alpha T \]Relation avec Q :
\[ Q = \frac{\pi}{\delta} \]5. Applications Pratiques
Résonance en radio
Sélection de fréquence par accord LC
Éclairage flash
Transfert rapide d’énergie vers la lampe
Circuits d’accord
Utilisés dans les radios pour sélectionner une fréquence :
Fréquence de résonance :
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]Peut être ajustée avec C variable
