Mouvement d’un Projectile dans un Plan
Mécanique – 2ème BAC Sciences et Technologies Elécriques STE
Introduction
Le mouvement d’un projectile est un cas particulier de mouvement plan où un objet est lancé avec une vitesse initiale et soumis uniquement à l’accélération de la pesanteur (négligeant les frottements de l’air).
Hypothèses
- Champ de pesanteur uniforme
- Pas de résistance de l’air
- Objet ponctuel
Caractéristiques
Trajectoire parabolique avec:
- Portée (P)
- Flèche (H)
- Temps de vol
1. Étude Théorique du Mouvement
\[ \begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = -g \end{cases} \]
Équations horaires
Position :
\[ x(t) = v_0\cosθ\,t \]
\[ y(t) = v_0\sinθ\,t – \frac{1}{2}gt^2 \]
Vitesse :
\[ v_x(t) = v_0\cosθ \]
\[ v_y(t) = v_0\sinθ – gt \]
Équation de la trajectoire
\[ y(x) = x\tanθ – \frac{g}{2v_0^2\cos^2θ}x^2 \]
Forme générale : y = ax – bx² (parabole)
2. Caractéristiques du Mouvement
\[ T = \frac{2v_0\sinθ}{g} \quad H = \frac{v_0^2\sin^2θ}{2g} \quad P = \frac{v_0^2\sin(2θ)}{g} \]
Paramètres clés
Temps de vol (T) : Durée totale du mouvement
Portée (P) : Distance horizontale maximale
Flèche (H) : Altitude maximale atteinte
Angle optimal : θ = 45° pour Pmax
Simulation
3. Cas Particuliers
Tir vertical (θ = 90°)
\[ y(t) = v_0t – \frac{1}{2}gt^2 \]
\[ H = \frac{v_0^2}{2g} \]
\[ T = \frac{2v_0}{g} \]
Tir horizontal (θ = 0°)
\[ x(t) = v_0t \]
\[ y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 \]
\[ P = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
4. Applications Pratiques
Sports
Optimisation de la portée et de la hauteur selon l’angle de tir.
Artillerie
Calcul des trajectoires pour atteindre une cible à distance donnée.
