Mouvement des Satellites et des Planètes
Mécanique – 2ème BAC Sciences Mathématiques SMA
Introduction
Les mouvements des satellites et des planètes sont régis par les lois de la gravitation universelle et peuvent être décrits comme :
Mouvement Keplerien
Trajectoires elliptiques (1ère loi de Kepler)
Mouvement Circulaire
Cas particulier des orbites circulaires
1. Lois de Kepler
1ère Loi (1609)
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers.
2ème Loi (1609)
Le rayon vecteur balaye des aires égales en des temps égaux.
3ème Loi (1619)
\[ \frac{T^2}{a^3} = \text{Constante} \]
Où T est la période orbitale et a le demi-grand axe de l’ellipse.
2. Loi de la Gravitation Universelle
\[ \vec{F} = -G\frac{mM}{r^2}\vec{u} \]
Constantes
- G = 6.67×10-11 N·m2/kg2
- MTerre = 5.97×1024 kg
- RTerre = 6370 km
Représentation
3. Vitesse des Satellites
Vitesse Orbitale
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
Pour un satellite en orbite circulaire à l’altitude h :
\[ r = R_T + h \]
Période Orbitale
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]
Exemple : Satellite géostationnaire (T = 24h) orbite à h ≈ 36000 km
Animation Orbite
4. Énergie des Satellites
Énergie Potentielle
\[ E_p = -\frac{GMm}{r} \]
(Référence nulle à l’infini)
Énergie Cinétique
\[ E_c = \frac{1}{2}\frac{GMm}{r} \]
Pour une orbite circulaire
Énergie Mécanique Totale
\[ E_m = E_c + E_p = -\frac{GMm}{2r} \]
L’énergie mécanique est constante et négative (état lié)
5. Applications
Satellites Géostationnaires
Utilisés pour les télécommunications
Vitesse de Libération
\[ v_l = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]
Pour la Terre : vl ≈ 11.2 km/s
