Mouvement de Rotation d’un Solide autour d’un Axe Fixe
Mécanique – 2ème BAC Sciences Mathématiques SMA
Introduction
Un solide est en rotation autour d’un axe fixe lorsque tous ses points décrivent des trajectoires circulaires centrées sur cet axe. Nous distinguons :
Rotation Uniforme
Vitesse angulaire constante
Rotation Accélérée
Accélération angulaire présente
1. Paramètres Cinématiques
Position angulaire
θ(t) en radians (rad)
Vitesse angulaire
\[ ω = \frac{dθ}{dt} \]
En rad/s
Relation avec vitesse linéaire :
\[ v = Rω \]
Accélération angulaire
\[ α = \frac{dω}{dt} \]
En rad/s²
2. Dynamique de Rotation
\[ Σ\vec{M} = I\vec{α} \]
Où I est le moment d’inertie (kg.m²)
Moment d’inertie
Pour des solides particuliers :
- Tige mince : \[ I = \frac{1}{12}mL^2 \]
- Cylindre plein : \[ I = \frac{1}{2}mR^2 \]
- Sphère pleine : \[ I = \frac{2}{5}mR^2 \]
Moment de force
\[ \vec{M} = \vec{r} ∧ \vec{F} \]
3. Énergie Cinétique de Rotation
\[ E_c = \frac{1}{2}Iω^2 \]
Théorème de l’énergie cinétique
\[ ΔE_c = W_{ΣM} \]
Le travail des moments modifie l’énergie cinétique de rotation
Application
4. Mouvement Circulaire Uniforme
Caractéristiques
- ω = constante
- α = 0
- Période : \[ T = \frac{2π}{ω} \]
- Fréquence : \[ f = \frac{1}{T} \]
Accélération centripète
\[ a = \frac{v^2}{R} = Rω^2 \]
5. Applications Pratiques
Volant d’inertie
Utilisé pour lisser les variations de vitesse
Roues et engrenages
Transmission et modification du couple
