Les puissances 3ème année Collège 3AC

Les puissances 3ème année Collège 3AC

Leçon – Les Puissances (3ème AC)

Leçon : Les Puissances
3ème Année Collège (3AC)

I. Définition et notation

Une puissance est un moyen d’écrire un produit de facteurs identiques.

Pour tout nombre a et tout entier naturel n (n ≥ 2) :

a^n = a × a × … × a (n fois)

On lit “a exposant n” ou “a puissance n”.

Exemples :

• \( 5^3 = 5 × 5 × 5 = 125 \)

• \( 2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 \)

• \( (-3)^2 = (-3) × (-3) = 9 \)

Attention :

• \( -3^2 = – (3 × 3) = -9 \) (les parenthèses changent tout !)

• \( a^1 = a \) (tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même)

• \( a^0 = 1 \) (pour a ≠ 0, tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1)

II. Propriétés des puissances

1. Produit de puissances

a^m × a^n = a^{m+n}

Lorsqu’on multiplie deux puissances du même nombre, on additionne les exposants.

Exemples :

• \( 2^3 × 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \)

• \( 5 × 5^2 = 5^1 × 5^2 = 5^{1+2} = 5^3 = 125 \)

2. Quotient de puissances

a^m ÷ a^n = a^{m-n} \quad \text{(pour a ≠ 0)}

Lorsqu’on divise deux puissances du même nombre, on soustrait les exposants.

Exemples :

• \( 7^5 ÷ 7^3 = 7^{5-3} = 7^2 = 49 \)

• \( 10^4 ÷ 10^6 = 10^{4-6} = 10^{-2} = 0,01 \)

3. Puissance d’une puissance

(a^m)^n = a^{m×n}

Lorsqu’on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.

Exemples :

• \( (3^2)^3 = 3^{2×3} = 3^6 = 729 \)

• \( (10^2)^{-1} = 10^{2×(-1)} = 10^{-2} = 0,01 \)

Astuce : Ces propriétés ne s’appliquent que lorsque la base est la même !

• \( 2^3 × 3^2 \) ne peut pas être simplifié avec ces règles

• \( (a+b)^2 \) n’est pas égal à \( a^2 + b^2 \)

III. Cas particuliers

1. Puissances de 10

Les puissances de 10 sont très utilisées en sciences :

• \( 10^n = 1\underbrace{00…0}_{n \text{ zéros}} \)

• \( 10^{-n} = 0,\underbrace{00…0}_{n-1 \text{ zéros}}1 \)

Exemples :

• \( 10^3 = 1000 \)

• \( 10^{-2} = 0,01 \)

• \( 3,2 × 10^4 = 32000 \) (notation scientifique)

2. Exposants négatifs

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{(pour a ≠ 0)}

Un exposant négatif indique l’inverse de la puissance positive.

Exemples :

• \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125 \)

• \( 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01 \)

• \( (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} \)


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