Leçon : Les Puissances
3ème Année Collège (3AC)
I. Définition et notation
Une puissance est un moyen d’écrire un produit de facteurs identiques.
Pour tout nombre a et tout entier naturel n (n ≥ 2) :
a^n = a × a × … × a (n fois)
On lit “a exposant n” ou “a puissance n”.
Exemples :
• \( 5^3 = 5 × 5 × 5 = 125 \)
• \( 2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 \)
• \( (-3)^2 = (-3) × (-3) = 9 \)
Attention :
• \( -3^2 = – (3 × 3) = -9 \) (les parenthèses changent tout !)
• \( a^1 = a \) (tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même)
• \( a^0 = 1 \) (pour a ≠ 0, tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1)
II. Propriétés des puissances
1. Produit de puissances
a^m × a^n = a^{m+n}
Lorsqu’on multiplie deux puissances du même nombre, on additionne les exposants.
Exemples :
• \( 2^3 × 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \)
• \( 5 × 5^2 = 5^1 × 5^2 = 5^{1+2} = 5^3 = 125 \)
2. Quotient de puissances
a^m ÷ a^n = a^{m-n} \quad \text{(pour a ≠ 0)}
Lorsqu’on divise deux puissances du même nombre, on soustrait les exposants.
Exemples :
• \( 7^5 ÷ 7^3 = 7^{5-3} = 7^2 = 49 \)
• \( 10^4 ÷ 10^6 = 10^{4-6} = 10^{-2} = 0,01 \)
3. Puissance d’une puissance
(a^m)^n = a^{m×n}
Lorsqu’on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.
Exemples :
• \( (3^2)^3 = 3^{2×3} = 3^6 = 729 \)
• \( (10^2)^{-1} = 10^{2×(-1)} = 10^{-2} = 0,01 \)
Astuce : Ces propriétés ne s’appliquent que lorsque la base est la même !
• \( 2^3 × 3^2 \) ne peut pas être simplifié avec ces règles
• \( (a+b)^2 \) n’est pas égal à \( a^2 + b^2 \)
III. Cas particuliers
1. Puissances de 10
Les puissances de 10 sont très utilisées en sciences :
• \( 10^n = 1\underbrace{00…0}_{n \text{ zéros}} \)
• \( 10^{-n} = 0,\underbrace{00…0}_{n-1 \text{ zéros}}1 \)
Exemples :
• \( 10^3 = 1000 \)
• \( 10^{-2} = 0,01 \)
• \( 3,2 × 10^4 = 32000 \) (notation scientifique)
2. Exposants négatifs
a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{(pour a ≠ 0)}
Un exposant négatif indique l’inverse de la puissance positive.
Exemples :
• \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125 \)
• \( 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01 \)
• \( (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} \)