Les Polynômes
Tronc Commun Science
Introduction
Un polynôme est une expression mathématique fondamentale utilisée en technologie pour modéliser des phénomènes continus, des courbes de tendance et des comportements de systèmes.
Forme
P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀
Degré
Puissance maximale
Applications
CAO • Électronique • Robotique
1. Définitions et Opérations
\[ P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x – 7 \]
Terminologie
- Termes : 2x³, -5x², 3x, -7
- Coefficients : 2, -5, 3, -7
- Degré : 3 (puissance max)
- Constante : -7 (terme sans x)
Types spéciaux :
• Polynôme nul : P(x) = 0
• Polynôme constant : P(x) = a
• Polynôme linéaire : degré 1
• Polynôme quadratique : degré 2
Opérations de base
Addition :
\[ (3x^2 + 2) + (x^2 – 5x) = 4x^2 – 5x + 2 \]Multiplication :
\[ (x + 2)(x – 3) = x^2 – x – 6 \]Calculateur :
P(x) =
Q(x) =
= x³ + x² – x – 1
2. Racines et Factorisation
Racines d’un polynôme
a est racine de P ⇔ P(a) = 0
Un polynôme de degré n a au plus n racines réelles
Factorisation
Si a est racine :
\[ P(x) = (x – a)Q(x) \]Formes remarquables :
\[ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \] \[ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \]Exemple :
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Racines : 2 et 3
Calculateur de racines :
P(x) =
Racines : 2, 3
3. Applications Technologiques
Modélisation de Courbes
En CAO et CFAO, les polynômes permettent de modéliser des courbes complexes avec précision.
Électronique
Les caractéristiques courant-tension des composants sont souvent modélisées par des polynômes :
\[ I = aV^3 + bV^2 + cV + d \]Cette modélisation est cruciale pour la conception de circuits.
4. Exercices Pratiques
Exercice 1
Factoriser P(x) = x³ – 4x² + x + 6 sachant que 2 est une racine.
Exercice 2
Un mouvement robotique suit la trajectoire P(t) = t³ – 6t² + 9t. Déterminer quand le robot repasse par l’origine.
