Posted inشعبة العلوم الرياضية 1Bac SM مادة الرياضيات مستجدات

Les Ensembles en Mathématiques 1ère BAC Sciences Mathématiques

1 Comment
Les Ensembles en Mathématiques 1ère BAC Sciences Mathématiques
Cours math 1BAC SM

Les Ensembles en Mathématiques
1ère BAC Sciences Mathématiques

Introduction

Un ensemble est une collection d’objets distincts appelés éléments. C’est un concept fondamental en mathématiques, utilisé pour organiser et structurer les objets mathématiques.

Notations

• ∈ : “appartient à”
• ⊂ : “inclus dans”
• ∅ : ensemble vide

Exemples

• ℕ : entiers naturels
• ℤ : entiers relatifs
• ℝ : nombres réels

Applications

Fonctions
Probabilités
Algèbre

1. Définitions de Base

Représentation des ensembles

En extension : Liste des éléments entre accolades

\[ A = \{2, 4, 6, 8\} \]

En compréhension : Par une propriété caractéristique

\[ B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ est pair}\} \]
1 3 5 A

Types d’ensembles

Type Définition
Ensemble vide ∅ = { }
Singleton {a}
Fini/Infini Nombre d’éléments
Égalité A = B ⇔ mêmes éléments

Exemple :

{1, 2, 3} = {3, 2, 1} (l’ordre n’a pas d’importance)

{a, a, b} = {a, b} (pas de répétition)

2. Opérations sur les Ensembles

Union et Intersection

Union A∪B

A∪B

Intersection A∩B

A∩B

Propriétés :

  • A∪B = B∪A (commutativité)
  • A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (distributivité)
  • A∪A = A (idempotence)

Complémentaire et Différence

Complémentaire Ac

Ac

Différence A\B

A\B

Lois de De Morgan :

\[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \] \[ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \]

3. Ensembles Numériques

ℕ ℤ ℚ ℝ 0, 1, 2… -3, 0, 5 1/2, 0.75 √2, π

Relations d’inclusion

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

Propriétés :

  • ℕ : Clos pour + et × mais pas pour –
  • ℤ : Clos pour +, -, ×
  • ℚ : Clos pour +, -, ×, ÷ (sauf par 0)

Intervalles dans ℝ

Notation Description
[a, b] a ≤ x ≤ b
]a, b[ a < x < b
[a, +∞[ x ≥ a
ℝ\{a} Tous réels sauf a

4. Produit Cartésien

Définition

Le produit cartésien A × B est l’ensemble de tous les couples (a, b) où a ∈ A et b ∈ B :

\[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ et } b \in B\} \]

Exemple : Si A = {1, 2} et B = {x, y}, alors :

\[ A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\} \]

Représentation graphique

1 2 3 4 a b c d A × B avec A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c,d}

Cas particulier : ℝ × ℝ = ℝ² (plan cartésien)

Exercices Interactifs

Opérations sur les ensembles

Soit A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, et C = {2, 4, 6}

1. A ∩ (B ∪ C) = ?

2. (A \ B) ∪ C = ?

Diagrammes de Venn

A B 1 3 5 4

3. Si le diagramme représente |A∪B|, alors :

قائمة دروس باقي المواد 1BAC SM

Tags:

1 Comment

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *