Les Ensembles de Nombres
Mathématiques – Tronc commun Scientifiques TCS
Introduction
Les ensembles de nombres constituent la base de l’analyse mathématique. Ils sont organisés par inclusion successive, chaque nouvel ensemble apportant des solutions à des équations qui n’en avaient pas dans l’ensemble précédent.
ℕ
Nombres naturels
0, 1, 2, 3…
ℤ
Nombres entiers
…-2, -1, 0, 1, 2…
ℚ
Nombres rationnels
a/b avec a∈ℤ, b∈ℕ*
ℝ
Nombres réels
ℚ + irrationnels
1. Les Nombres Naturels (ℕ)
Définition
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} est l’ensemble des nombres entiers positifs.
ℕ* = ℕ \ {0} = {1, 2, 3, …}
Propriétés :
- Addition et multiplication internes
- Relation d’ordre totale
- Principe de récurrence
Représentation
Représentation discrète et illimitée
2. Les Nombres Entiers (ℤ)
Définition
ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} étend ℕ avec les opposés des naturels.
ℤ* = ℤ \ {0}, ℤ⁺ = ℕ, ℤ⁻ = {…, -3, -2, -1}
Propriétés :
- Addition, soustraction et multiplication internes
- Anneau commutatif
- Pas de division en général
Représentation
Extension symétrique de ℕ
3. Les Nombres Rationnels (ℚ)
Définition
ℚ = {a/b | a∈ℤ, b∈ℕ*} est l’ensemble des fractions.
Exemples : 1/2, -3/4, 5/1=5, 0.333…=1/3
Propriétés :
- Corps commutatif (opérations stables)
- Densité : entre 2 rationnels, il en existe un autre
- Développement décimal fini ou périodique
Représentation
Ensemble dense mais incomplet
4. Les Nombres Réels (ℝ)
Définition
ℝ = ℚ ∪ {nombres irrationnels} complète la droite numérique.
Exemples irrationnels : √2, π, e, φ…
Propriétés :
- Corps commutatif totalement ordonné
- Complet (toute suite de Cauchy converge)
- Non dénombrable
Représentation
Droite réelle complète
Théorème : ℝ est le complété de ℚ pour la valeur absolue.
5. Relations entre Ensembles
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
Diagramme d’inclusion
Chaque ensemble contient le précédent
Cardinalité
| ℕ, ℤ | Dénombrables |
| ℚ | Dénombrable |
| ℝ | Non dénombrable |
Théorème de Cantor : ℝ est en bijection avec tout intervalle ]a,b[
6. Applications et Exercices
Exercice 1
Montrer que √3 ∉ ℚ (irrationnalité)
Exercice 2
Montrer que entre 2 réels distincts, il existe toujours un rationnel et un irrationnel.
Applications pratiques
- ℕ : Dénombrement, récurrence
- ℤ : Arithmétique, équations diophantiennes
- ℚ : Calculs exacts, proportions
- ℝ : Analyse, limites, continuité
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