Le Produit Scalaire
Mathématiques – Tronc Commun Technologies
Introduction
Le produit scalaire est une opération algébrique entre deux vecteurs qui renvoie un scalaire (nombre réel). Il joue un rôle fondamental en géométrie et en physique technologique.
Applications
• Calcul d’angles
• Projections
• Travail mécanique
Notation
u⃗ · v⃗
ou
(u⃗|v⃗)
Résultat
Nombre réel
(scalaire)
1. Définition Géométrique
u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ)
Interprétation
- θ: angle entre les vecteurs
- ‖u⃗‖: norme du vecteur u⃗
- Signe du produit scalaire :
- θ < 90° ⇒ positif
- θ = 90° ⇒ nul
- θ > 90° ⇒ négatif
Visualisation interactive
2. Expression Analytique
Dans un repère orthonormé
Si u⃗(x₁,y₁) et v⃗(x₂,y₂) :
u⃗ · v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
Exemple :
u⃗(2,3) et v⃗(-1,4)
u⃗ · v⃗ = 2×(-1) + 3×4 = -2 + 12 = 10
Calculateur interactif
u⃗·v⃗ = 10
3. Propriétés et Applications
Relations fondamentales
Orthogonalité
u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ u⃗ · v⃗ = 0
Norme
‖u⃗‖ = √(u⃗ · u⃗)
= √(x² + y²)
Projection
Longueur projetée :
‖u⃗v‖ = (u⃗·v⃗)/‖v⃗‖
Applications technologiques
Travail mécanique :
W = F⃗ · AB⃗
Puissance électrique :
P = U⃗ · I⃗
4. Exercices Interactifs
Calcul de produit scalaire
u⃗(, )
v⃗(, )
Vérification d’orthogonalité
a⃗(, )
b⃗(, )
Problème technologique
Une force F⃗(200,150) (en N) déplace un objet selon le vecteur d⃗(5,-2) (en m). Calculer le travail effectué.
Solution :
W = F⃗ · d⃗
= 200×5 + 150×(-2)
= 1000 – 300 = 700 J
