La Droite dans le Plan
Tronc Commun Science
Introduction
Une droite dans le plan est un concept fondamental en géométrie analytique, essentiel pour la modélisation en technologie et en ingénierie.
Équations
Cartésienne
Paramétrique
Reduite
Éléments
Vecteur directeur
Pente
Ordonnée à l’origine
Applications
Dessin technique
CAO
Robotique
1. Équations d’une Droite
\[ ax + by + c = 0 \quad \text{(Équation cartésienne)} \]
Équation Cartésienne
• Vecteur normal : n(a,b)
• Passe par un point si ses coordonnées vérifient l’équation
Exemple :
2x – 3y + 1 = 0
Vecteur normal n(2,-3)
Équation Réduite
• m : pente (coefficient directeur)
• p : ordonnée à l’origine
2. Éléments Caractéristiques
Vecteur Directeur
Tout vecteur colinéaire à la droite
Pour ax + by + c = 0 : u(-b,a)
Pente et Angle
θ : angle avec l’axe des abscisses
Calculateur :
Δx =
Δy =
m = 1.5
3. Positions Relatives
Droites Parallèles
Deux droites sont parallèles si :
• Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
• Ou leurs coefficients directeurs égaux (si réduite)
Droites Perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires si :
• Le produit de leurs coefficients vaut -1
• Ou leurs vecteurs normaux orthogonaux
Intersection de Droites
Système d’équations :
\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]Calculateur :
D1: y = x +
D2: y = x +
Point d’intersection: (1, 3)
4. Applications Techniques
Dessin Technique
Les droites sont utilisées pour définir les contours et les cotes en dessin industriel.
Robotique et Trajectoires
En robotique, les trajectoires sont souvent des suites de segments de droite entre points de passage.
5. Exercices Pratiques
Exercice 1
Trouver l’équation de la droite passant par A(2,3) et B(4,7).
Exercice 2
Déterminer si D1: y=3x+2 et D2: 6x-2y+5=0 sont parallèles.
