Introduction aux Nombres Réels
2ème Année Collège
1. Qu’est-ce qu’un Nombre Réel ?
Les nombres réels (ℝ) englobent tous les nombres que nous utilisons couramment. Ils forment une droite continue sans “trous”.
Exemples
-3, 0, 1/2, √2, π, 4.567…
Propriété
Tout point sur la droite numérique correspond à un réel
2. Classification des Nombres Réels
Nombres Rationnels (ℚ)
Peuvent s’écrire comme fraction \(\frac{a}{b}\) où a et b sont entiers
Exemples : \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), 2 (car \( \frac{2}{1} \))
Nombres Irrationnels (𝕀)
Ne peuvent pas s’écrire comme fraction simple
Exemples : √2, π, le nombre d’or φ
3. Représentation Décimale
Développement décimal fini
\(\frac{1}{2} = 0,5\)
\(\frac{3}{4} = 0,75\)
Développement décimal infini
\(\frac{1}{3} = 0,333…\)
√2 = 1,41421356…
Caractéristiques
| Type | Développement décimal | Exemple |
|---|---|---|
| Décimal | Fini | 0.75 |
| Rationnel non décimal | Infini périodique | 0.333… |
| Irrationnel | Infini non périodique | π = 3.14159265… |
4. Comparaison et Ordre
Pour tous réels a et b : a < b OU a = b OU a > b
Méthode de comparaison
- Comparer les parties entières
- Si égales, comparer 1ère décimale
- Continuer jusqu’à trouver une différence
Exemple : 3,1415 < 3,1416
Encadrement
Pour √2 ≈ 1,41421356…
1,414 < √2 < 1,415
5. Exercices Interactifs
Classification
Quel est le type de √9 ?
Comparaison
Comparer : π (≈3.1416) et \(\frac{22}{7}\) (≈3.1429)
Calculateur d’encadrement
Encadrer √3 à 2 décimales :
