Géométrie dans l’Espace
Tronc Commun Science
Introduction
La géométrie dans l’espace étudie les positions relatives et les propriétés des objets en 3D. Essentielle pour la modélisation technique, l’architecture et la conception mécanique.
Objets 3D
• Droites
• Plans
• Solides
Outils
• Vecteurs
• Repère 3D
• Projections
Applications
• CAO
• Robotique
• Infographie
1. Repérage dans l’Espace
Repère orthonormé
Trois axes perpendiculaires :
- (Ox) : abscisse
- (Oy) : ordonnée
- (Oz) : côte
Point M(x,y,z)
Distance :
AB = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²]
Visualisation 3D interactive
2. Droites et Plans
Équations
Droite :
• Paramétrique : M = A + t·u⃗
• Cartésienne : système de 2 équations
Plan :
ax + by + cz + d = 0
Exemple :
Plan (P) : 2x – y + 3z – 6 = 0
Vecteur normal n⃗(2,-1,3)
Positions relatives
2 plans :
• Parallèles (normaux colinéaires)
• Sécants (intersection = droite)
Droite/plan :
• Parallèle (u⃗ ⊥ n⃗)
• Sécante (point d’intersection)
3. Solides Usuels
Volume = B × h
V = πr²h
V = (B × h)/3
V = (4/3)πr³
Calculateur de volume
Volume = ?
4. Applications Technologiques
Conception assistée
Utilisation des plans et volumes pour concevoir des pièces mécaniques.
Robotique
Calcul des trajectoires et positions dans l’espace 3D.
Problème pratique
Un réservoir cylindrique a un diamètre de 2m et une hauteur de 3m. Calculer sa capacité en litres.
Solution :
1. Rayon = 1m
2. Volume = π × 1² × 3 = 3π m³
3. Conversion : 1m³ = 1000L
4. Capacité ≈ 9425L
