Fonctions Logarithmiques
2ème BAC Sciences Physiques
1. Définition et Propriétés Fondamentales
a) Définition
La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est définie pour \( x > 0 \) comme :
b) Propriétés algébriques
- \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)
- \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \)
- \( \ln(a^n) = n\ln(a) \)
- \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \) où \( e \approx 2.718 \)
2. Étude de la Fonction \( x \mapsto \ln(x) \)
a) Dérivée et variations
La fonction est dérivable sur \( \mathbb{R}^*_+ \) et :
Conséquences :
- Strictement croissante sur \( \mathbb{R}^*_+ \)
- Concave (dérivée seconde \( \ln”(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \))
b) Limites remarquables
- \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
- \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
- \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \)
3. Logarithme Décimal
Défini pour \( x > 0 \) par :
Propriétés similaires au logarithme népérien, utilisée en sciences pour les échelles logarithmiques (pH, décibels…).
4. Croissances Comparées
Comparaison avec les puissances et exponentielle :
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \) (pour \( n > 0 \))
- \( \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x} = 0 \)
Interprétation : La fonction logarithme croît plus lentement que toute puissance ou exponentielle.
5. Exercices d’Application
Exercice 1 : Résoudre \( \ln(x+2) + \ln(x-1) = \ln(4x) \) dans \( \mathbb{R} \).
Solution :
Domaine : \( x > 1 \). Équation équivalente à \( (x+2)(x-1) = 4x \).
Solution : \( x = 2 \) (seule solution dans le domaine).
Exercice 2 : Étudier les variations de \( f(x) = x^2 \ln(x) \) sur \( \mathbb{R}^*_+ \).
Solution :
\( f'(x) = x(2\ln(x) + 1) \).
Décroissante sur \( ]0, e^{-1/2}[ \), croissante sur \( ]e^{-1/2}, +\infty[ \).
