Fonctions Logarithmiques 2ème BAC Sciences Mathématiques A

Fonctions Logarithmiques 2ème BAC Sciences Mathématiques A

Fonctions Logarithmiques
2ème BAC Sciences Mathématiques

1. Définition et Propriétés Fondamentales

a) Définition

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est définie pour \( x > 0 \) comme :

\( \ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt \)

b) Propriétés algébriques

  • \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)
  • \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \)
  • \( \ln(a^n) = n\ln(a) \)
  • \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \) où \( e \approx 2.718 \)

2. Étude de la Fonction \( x \mapsto \ln(x) \)

a) Dérivée et variations

La fonction est dérivable sur \( \mathbb{R}^*_+ \) et :

\( \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \)

Conséquences :

  • Strictement croissante sur \( \mathbb{R}^*_+ \)
  • Concave (dérivée seconde \( \ln”(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \))

b) Limites remarquables

  • \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
  • \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \)

3. Logarithme Décimal

Défini pour \( x > 0 \) par :

\( \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \)

Propriétés similaires au logarithme népérien, utilisée en sciences pour les échelles logarithmiques (pH, décibels…).

4. Croissances Comparées

Comparaison avec les puissances et exponentielle :

  • \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \) (pour \( n > 0 \))
  • \( \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x} = 0 \)

Interprétation : La fonction logarithme croît plus lentement que toute puissance ou exponentielle.

5. Exercices d’Application

Exercice 1 : Résoudre \( \ln(x+2) + \ln(x-1) = \ln(4x) \) dans \( \mathbb{R} \).

Solution :

Domaine : \( x > 1 \). Équation équivalente à \( (x+2)(x-1) = 4x \).

Solution : \( x = 2 \) (seule solution dans le domaine).

Exercice 2 : Étudier les variations de \( f(x) = x^2 \ln(x) \) sur \( \mathbb{R}^*_+ \).

Solution :

\( f'(x) = x(2\ln(x) + 1) \).

Décroissante sur \( ]0, e^{-1/2}[ \), croissante sur \( ]e^{-1/2}, +\infty[ \).


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