Fonctions Exponentielles 2ème BAC Sciences Mathématiques A

Fonctions Exponentielles 2ème BAC Sciences Mathématiques A

Fonctions Exponentielles
2ème BAC Sciences Mathématiques

1. Définition et Propriétés

a) Fonction exponentielle népérienne

Définie comme la réciproque du logarithme népérien :

\( \exp(x) = e^x \) où \( e \approx 2.71828 \)

b) Propriétés algébriques

  • \( e^{a+b} = e^a \times e^b \)
  • \( e^{-a} = \frac{1}{e^a} \)
  • \( (e^a)^b = e^{ab} \)
  • \( e^0 = 1 \)
0 2 -2 y = e^x

2. Dérivée et Étude Fonctionnelle

a) Dérivée

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :

\( \frac{d}{dx}e^x = e^x \)

b) Variations

  • Strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
  • Convexe (\( e^x > 0 \) pour tout \( x \))
  • \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+ \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \)
Tangente en 0: y = x + 1

3. Fonctions \( a^x \)

Pour \( a > 0 \), on définit :

\( a^x = e^{x\ln(a)} \)
2^x e^x (1/2)^x

Propriétés :

  • Si \( a > 1 \) : croissance similaire à \( e^x \)
  • Si \( 0 < a < 1 \) : fonction décroissante
  • Dérivée : \( \frac{d}{dx}a^x = \ln(a) \cdot a^x \)

4. Exercices d’Application

Exercice 1 : Résoudre \( e^{2x} – 3e^x + 2 = 0 \) dans \( \mathbb{R} \).

Poser \( X = e^x \) : équation \( X^2 – 3X + 2 = 0 \).

Solutions : \( x = 0 \) et \( x = \ln(2) \).

Exercice 2 : Étudier les variations de \( f(x) = x e^{-x} \).

\( f'(x) = e^{-x}(1 – x) \).

Croissante sur \( ]-\infty, 1] \), décroissante sur \( [1, +\infty[ \).


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