10 Exercices sur les Suites Numériques
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Suite arithmétique
Soit \( (u_n) \) une suite arithmétique telle que \( u_5 = 17 \) et \( u_{10} = 32 \).
- Déterminer la raison \( r \) et le premier terme \( u_0 \)
- Calculer \( u_{20} \)
Exercice 2 : Suite géométrique
Une suite géométrique \( (v_n) \) vérifie \( v_2 = 12 \) et \( v_5 = 324 \).
- Trouver la raison \( q \) et \( v_0 \)
- Donner l’expression de \( v_n \) en fonction de \( n \)
Exercice 3 : Sens de variation
Étudier la monotonie de \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n + 3} \) pour \( n \geq 0 \).
Exercice 4 : Limite d’une suite
Déterminer la limite de \( w_n = \frac{3n^3 – 2n + 1}{5n^3 + n^2 – 4} \).
Exercice 5 : Suite récurrente
Soit \( (a_n) \) définie par \( a_0 = 1 \) et \( a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6} \).
- Montrer que \( (a_n) \) est croissante et majorée par 3
- En déduire sa convergence et sa limite
Exercice 6 : Théorème des gendarmes
Déterminer la limite de \( b_n = \frac{\sin(n) + 2n}{3n – \cos(n)} \).
Exercice 7 : Suite définie par une somme
Soit \( S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} \).
- Calculer \( S_1, S_2, S_3 \)
- Deviner une expression de \( S_n \)
- Déterminer \( \lim_{n \to +\infty} S_n \)
Exercice 8 : Raisonnement par récurrence
Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 5^n \geq 4^n + 3^n \).
Exercice 9 : Suite arithmético-géométrique
Soit \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = 2u_n + 3 \).
- Trouver \( \alpha \) tel que \( \alpha = 2\alpha + 3 \)
- Montrer que \( v_n = u_n – \alpha \) est géométrique
- En déduire \( u_n \)
Exercice 10 : Application économique
Un capital \( C_0 = 1000 \)€ est placé à 5% d’intérêts composés annuels, avec un retrait fixe de 50€ chaque année.
- Établir la relation entre \( C_{n+1} \) et \( C_n \)
- Montrer que \( C_n = 1000 – 50n \) n’est pas solution
- Déterminer la formule exacte
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