Solution :

1. Écrire sous forme exponentielle : \( -1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{3π}{4}} \)
2. Solutions : \( z_k = 2e^{i(\frac{π}{4} + \frac{2kπ}{3})} \) pour k=0,1,2
3. Forme algébrique : \( z_0 = 1+i \), \( z_1 = -\sqrt{2}+i\sqrt{2} \), \( z_2 = \sqrt{3}-(1+\sqrt{3})i \)

Solution :

L’image est le cercle unité privé du point 1.

Solution :

1. Considérer \( S = Re\left(e^{iθ}\sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{2kπ}{n}}\right) \)
2. La somme des racines n-ièmes est nulle
3. Donc \( S = 0 \) pour \( n ≥ 2 \)

Solution :

1. Poser \( z = re^{iθ} \) ⇒ \( r^2e^{i2θ} = re^{-iθ} \)
2. Cas \( r = 0 \) : solution \( z = 0 \)
3. Cas \( r ≠ 0 \) : \( re^{i3θ} = 1 \) ⇒ \( r = 1 \) et \( θ = \frac{2kπ}{3} \)
4. Solutions : \( 0, 1, j, j^2 \)

Solution :

C’est un arc de cercle d’angle au centre \( \frac{π}{2} \) entre les points 1 et -1.

Solution :

1. Montrer que \( |z_n| \) est constante (\( = 10 \))
2. Suite définie par \( z_{n+1} = \frac{z_n + 10}{2} \)
3. Converge vers 10 (point fixe)

Solution :

1. Écrire \( P(z) = \sum a_k z^k = 0 \) avec \( a_k ∈ ℝ \)
2. Prendre le conjugué : \( \sum a_k \overline{z}^k = \overline{P(z)} = 0 \)
3. Donc \( P(\overline{z}) = 0 \)

Solution :

1. Inégalité triangulaire : \( |1+z| + |1-z| ≥ |(1+z)+(1-z)| = 2 \)
2. Interprétation géométrique : somme des distances aux points 1 et -1

Solution :

\( \cos^5 θ = \frac{1}{16}\left(10\cosθ + 5\cos(3θ) + \cos(5θ)\right) \)

Obtenu en développant \( \left(\frac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2}\right)^5 \) avec la formule du binôme.

Solution :

1. Écrire \( \left(\frac{z}{1+z}\right)^n = 1 \)
2. Solutions : \( \frac{z_k}{1+z_k} = e^{i\frac{2kπ}{n}} \) ⇒ \( z_k = \frac{e^{i\frac{2kπ}{n}}}{1-e^{i\frac{2kπ}{n}}} \)
3. Montrer qu’elles sont sur une droite et équidistantes