Exercices sur les Fonctions Primitives
2ème BAC SPC
Exercice 1 : Primitives de base
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
- \( f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2 \)
- \( g(x) = \frac{1}{x^2} + e^x \)
a) \[ \int (4x^3 – 3x^2 + 2) \, dx = \boxed{x^4 – x^3 + 2x + C} \]
b) \[ \int \left(\frac{1}{x^2} + e^x\right) dx = \int x^{-2} dx + \int e^x dx = \boxed{-\frac{1}{x} + e^x + C} \]
Exercice 2 : Primitive avec condition initiale
Trouver la primitive \( F \) de \( f(x) = 2x – 5 \) qui vérifie \( F(1) = 3 \).
On calcule d’abord la primitive générale : \[ F(x) = \int (2x – 5) dx = x^2 – 5x + C \]
On résout \( F(1) = 3 \) : \[ 1 – 5 + C = 3 \Rightarrow C = 7 \] \[ \boxed{F(x) = x^2 – 5x + 7} \]
Exercice 3 : Intégration par parties
Calculer \( \int x e^{2x} dx \) en utilisant l’intégration par parties.
Choix des fonctions : \[ u = x \Rightarrow du = dx \] \[ dv = e^{2x} dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}e^{2x} \]
Application de la formule : \[ \int x e^{2x} dx = \frac{x}{2}e^{2x} – \int \frac{1}{2}e^{2x} dx \] \[ = \boxed{\frac{x}{2}e^{2x} – \frac{1}{4}e^{2x} + C} \]
Exercice 4 : Changement de variable
Calculer \( \int \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} dx \) en effectuant un changement de variable.
Posons \( u = x^3 + 1 \), alors \( du = 3x^2 dx \) : \[ \int \frac{3x^2}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{3x^2} = \int u^{-1/2} du \] \[ = 2\sqrt{u} + C = \boxed{2\sqrt{x^3 + 1} + C} \]
Exercice 5 : Application physique
Un mobile a une accélération \( a(t) = 6t \). Sachant qu’à \( t=0 \), sa vitesse est \( v_0 = 2 \) m/s et sa position \( x_0 = 1 \) m, déterminer sa position \( x(t) \).
1. Calcul de la vitesse : \[ v(t) = \int a(t) dt = \int 6t \, dt = 3t^2 + C_1 \] \[ v(0) = 2 \Rightarrow C_1 = 2 \Rightarrow v(t) = 3t^2 + 2 \]
2. Calcul de la position : \[ x(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 + 2) dt = t^3 + 2t + C_2 \] \[ x(0) = 1 \Rightarrow C_2 = 1 \] \[ \boxed{x(t) = t^3 + 2t + 1} \]
Exercice 6 : Primitive de fonction trigonométrique
Calculer \( \int \sin(3x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx \).
On décompose l’intégrale : \[ \int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C_1 \] \[ \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 \] \[ \boxed{-\frac{1}{3}\cos(3x) + 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C} \]
Exercice 7 : Primitive avec valeur absolue
Trouver une primitive de \( f(x) = |x| \) sur \( \mathbb{R} \).
On traite deux cas : \[ \text{Si } x \geq 0 : F(x) = \frac{x^2}{2} + C \] \[ \text{Si } x < 0 : F(x) = -\frac{x^2}{2} + C \]
Pour une primitive continue en 0 : \[ \boxed{F(x) = \frac{1}{2}x|x| + C} \]
Exercice 8 : Application en électricité
L’intensité dans un circuit varie selon \( i(t) = 2e^{-0.5t} \) (A). Trouver la charge \( q(t) \) sachant que \( q(0) = 1 \) C.
On a \( q(t) = \int i(t) dt \): \[ \int 2e^{-0.5t} dt = 2 \times \frac{e^{-0.5t}}{-0.5} + C = -4e^{-0.5t} + C \] \[ q(0) = 1 \Rightarrow -4 + C = 1 \Rightarrow C = 5 \] \[ \boxed{q(t) = -4e^{-0.5t} + 5} \]
Exercice 9 : Fraction rationnelle
Calculer \( \int \frac{2x + 3}{x^2 + 1} dx \).
On décompose l’intégrale : \[ \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \ln(x^2 + 1) + C_1 \] \[ \int \frac{3}{x^2 + 1} dx = 3\arctan(x) + C_2 \] \[ \boxed{\ln(x^2 + 1) + 3\arctan(x) + C} \]
Exercice 10 : Synthèse
Soit \( f(x) = \frac{x^2 + 2x – 1}{x^2} \).
- Simplifier l’expression de \( f(x) \)
- En déduire \( \int f(x) dx \)
- Trouver la primitive \( F \) telle que \( F(1) = 2 \)
a) Simplification : \[ f(x) = 1 + \frac{2}{x} – \frac{1}{x^2} \]
b) Intégration : \[ \int f(x) dx = x + 2\ln|x| + \frac{1}{x} + C \]
c) Condition initiale : \[ F(1) = 1 + 0 + 1 + C = 2 \Rightarrow C = 0 \] \[ \boxed{F(x) = x + 2\ln|x| + \frac{1}{x}} \]
