Solution :

1. \( A = \ln(2^3) – \ln(2^2) = \ln\left(\frac{8}{4}\right) = \ln(2) \)
2. \( B = \frac{e^{3\ln(2)}}{e^{\ln(4)}} = \frac{8}{4} = 2 \)

Solution :

Conditions : \( x > 1 \).

Équation équivalente à : \( \frac{x+3}{x-1} = 2 \) ⇒ \( x = 5 \)

Solution :

1. \( \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*_+ \)
2. \( f'(x) = 1 – \frac{1}{x} \). Minimum en \( x=1 \) (\( f(1)=1 \))
3. \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \)

Solution :

Conditions : \( x > -\frac{1}{2} \).

Solution : \( -\frac{1}{2} < x \leq \frac{e-1}{2} \)

Solution :

1. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \)
2. \( \lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0 \)

Solution :

1. \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
2. \( f”(x) = \frac{2(1 – x^2)}{(x^2 + 1)^2} \). Convexe sur \( [-1, 1] \), concave ailleurs

Solution :

1. \( \log_{10}(5) = \log_{10}(10/2) = 1 – 0.301 = 0.699 \)
2. \( \log_{10}(200) = \log_{10}(2) + 2 \approx 2.301 \)

Solution :

Les solutions sont les fonctions \( f(x) = k\ln(x) \) avec \( k \in \mathbb{R} \).

Solution :

Résoudre \( 2 = e^{0.05t} \) ⇒ \( t = \frac{\ln(2)}{0.05} \approx 13.86 \) ans

Solution :

1. \( f'(x) = \frac{1 – \ln(x)}{x^2} \). Maximum en \( x = e \) (\( f(e) = 1/e \))
2. Tableau : Croissante sur \( ]0, e] \), décroissante sur \( [e, +\infty[ \)
3. • \( k > 1/e \) : 0 solution
   • \( k = 1/e \) : 1 solution
   • \( 0 < k < 1/e \) : 2 solutions
   • \( k \leq 0 \) : 1 solution