Exercice 1 : Repérage dans l’espace

Soient les points A(1,2,3), B(4,-1,2) et C(0,3,-1).

1. Calculer les coordonnées du vecteur AB
2. Calculer la distance AB
3. Déterminer les coordonnées du milieu I de [BC]

Exercice 2 : Equation de plan

On considère les points A(1,0,2), B(2,1,0) et C(0,2,1).

1. Déterminer une équation du plan (ABC)
2. Le point D(1,1,1) appartient-il à ce plan ?

Exercice 3 : Sphère et distance

Une sphère a pour centre Ω(1,-1,2) et passe par le point A(2,0,3).

1. Déterminer le rayon de la sphère
2. Donner son équation cartésienne
3. Le point B(0,1,1) est-il à l’intérieur de la sphère ?

Exercice 4 : Droite dans l’espace

Soit la droite D passant par A(1,2,-1) de vecteur directeur u(2,-1,3).

1. Donner une représentation paramétrique de D
2. Le point B(3,1,2) appartient-il à D ?

Exercice 5 : Intersection droite-plan

Soit le plan P: 2x – y + 3z = 5 et la droite D: x=1+t, y=2-t, z=3+2t.

1. Déterminer leur point d’intersection
2. Calculer l’angle entre D et la normale à P

Exercice 6 : Volume d’un tétraèdre

Soient A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) et D(1,1,1).

1. Calculer le volume du tétraèdre ABCD
2. Calculer la hauteur issue de D

Exercice 7 : Application architecturale

Une structure métallique est modélisée par les droites:
D1: (x=1+t, y=2-t, z=3+2t) et D2: (x=2s, y=1+s, z=4-s)

1. Montrer que D1 et D2 sont non coplanaires (elles forment donc une structure rigide)
2. Calculer la distance entre ces deux droites

Exercice 8 : Section plane

On considère un cube ABCDEFGH et le plan P passant par les milieux I, J, K des arêtes [AE], [BC] et [CG].

1. Déterminer la nature de la section du cube par P
2. Calculer l’aire de cette section

Exercice 9 : Perspective technologique

Un drone se déplace selon la droite D: x=2+t, y=1-t, z=3.

Une antenne est modélisée par le plan P: x + y + z = 6.

1. Déterminer si le drone va percuter l’antenne
2. Calculer la distance minimale entre le drone et l’antenne

Exercice 10 : Optimisation 3D

Une canalisation doit relier les points A(1,2,0) et B(3,4,5) en restant parallèle au plan P: x – y + 2z = 1.

1. Déterminer une équation de la droite support de la canalisation
2. Calculer sa longueur