Exercices d’Arithmétique Avancée
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Division Euclidienne
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 2023 par 17.
- Quelle est la définition de la division euclidienne ?
- Comment vérifier que le reste est correct ?
- Quel est le quotient entier de 2023 ÷ 17 ?
- Pourquoi le reste doit-il être strictement inférieur au diviseur ?
- Si on divise 2024 par 17, quel serait le nouveau reste ?
Par divisions successives :
2023 = 17×119 + 0
Quotient = 119, Reste = 0
Exercice 2 : PGCD par Euclide
Calculer PGCD(252, 198) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
- Quel est le principe de l’algorithme d’Euclide ?
- Pourquoi l’algorithme se termine-t-il toujours ?
- Quel est le PGCD de deux nombres consécutifs ?
- Comment utiliser le PGCD pour simplifier une fraction ?
- Si PGCD(a,b) = d, que peut-on dire de PGCD(a/d, b/d) ?
| a | b | r |
|---|---|---|
| 252 | 198 | 54 |
| 198 | 54 | 36 |
| 54 | 36 | 18 |
| 36 | 18 | 0 |
PGCD(252, 198) = 18
Exercice 3 : Théorème de Bézout
Trouver une solution particulière de l’équation : 23x + 17y = 1
- Qu’énonce le théorème de Bézout ?
- Pourquoi cette équation admet-elle des solutions ?
- Comment remonter l’algorithme d’Euclide ?
- Quelle est la solution générale de cette équation ?
- Peut-on trouver une solution avec x et y positifs ?
En remontant l’algorithme d’Euclide :
23 = 17×1 + 6
17 = 6×2 + 5
6 = 5×1 + 1 → 1 = 6 – 5×1
On trouve : 23×3 + 17×(-4) = 1
Exercice 4 : Nombres Premiers
Décomposer 420 en produit de facteurs premiers.
- Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
- Pourquoi la décomposition en facteurs premiers est-elle unique ?
- Quels sont les critères de divisibilité par 2, 3, et 5 ?
- Combien de diviseurs positifs a 420 ?
- Quel est le plus petit nombre ayant exactement les mêmes facteurs premiers que 420 ?
420 = 2² × 3 × 5 × 7
Exercice 5 : Congruences
Résoudre dans ℤ : 5x ≡ 3 [7]
- Qu’est-ce qu’une congruence modulo n ?
- Pourquoi 5 admet-il un inverse modulo 7 ?
- Comment trouver l’inverse d’un nombre modulo n ?
- Quelle est la différence entre une équation diophantienne et une congruence ?
- Combien y a-t-il de solutions modulo 7 ?
1. Trouver l’inverse de 5 modulo 7 :
5×3 = 15 ≡ 1 [7] ⇒ inverse = 3
2. Multiplier les deux côtés par 3 :
x ≡ 9 [7] ⇒ x ≡ 2 [7]
Solution : x = 7k + 2, k ∈ ℤ
Exercice 6 : Théorème de Gauss
Montrer que si 7 divise 3n, alors 7 divise n.
- Qu’énonce le théorème de Gauss ?
- Pourquoi PGCD(7,3) = 1 est-il crucial ici ?
- Donner un contre-exemple si les nombres ne sont pas premiers entre eux.
- Comment le théorème de Gauss se relie-t-il au lemme d’Euclide ?
- Peut-on généraliser ce résultat à d’autres nombres premiers ?
Par le théorème de Gauss :
7 | 3n et PGCD(7,3) = 1 ⇒ 7 | n
Exercice 7 : PPCM
Calculer PPCM(72, 120) en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
- Qu’est-ce que le PPCM de deux nombres ?
- Quelle relation existe entre PGCD et PPCM ?
- Pourquoi prend-on les plus grands exposants dans la décomposition ?
- Quel est le PPCM de deux nombres premiers entre eux ?
- Comment utiliser le PPCM pour résoudre des problèmes de périodicité ?
Décomposition :
72 = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3 × 5
PPCM = Produit des facteurs avec les plus grands exposants :
PPCM = 2³ × 3² × 5 = 360
Exercice 8 : Équation Diophantienne
Résoudre dans ℤ² : 15x + 25y = 40
- Qu’est-ce qu’une équation diophantienne ?
- Quelle condition doit satisfaire une équation ax + by = c pour avoir des solutions ?
- Comment simplifier une équation diophantienne ?
- Pourquoi la solution générale contient-elle un paramètre entier ?
- Combien y a-t-il de solutions positives à cette équation ?
1. Simplifier par 5 : 3x + 5y = 8
2. Solution particulière : (x₀,y₀) = (1,1)
3. Solution générale :
x = 1 + 5k
y = 1 – 3k, k ∈ ℤ
Exercice 9 : Critères de Divisibilité
Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 9 divise 10ⁿ – 1.
- Quel est le critère de divisibilité par 9 ?
- Pourquoi la récurrence est-elle adaptée ici ?
- Comment utiliser les congruences pour démontrer ce résultat ?
- Quelle est la somme des chiffres de 10ⁿ – 1 ?
- Ce résultat reste-t-il vrai pour d’autres bases que 10 ?
Par récurrence :
Initialisation : Pour n=0 : 10⁰-1=0 divisible par 9
Hérédité : Supposons 9|10ᵏ-1
10ᵏ⁺¹-1 = 10×10ᵏ – 1 = 9×10ᵏ + (10ᵏ-1)
Les deux termes sont divisibles par 9
On peut aussi utiliser 10 ≡ 1 [9] ⇒ 10ⁿ ≡ 1ⁿ [9]
Exercice 10 : Nombres Premiers Entre Eux
Montrer que pour tout n ∈ ℕ, n et n+1 sont premiers entre eux.
- Qu’est-ce que deux nombres premiers entre eux ?
- Pourquoi deux nombres consécutifs ne peuvent-ils pas avoir de diviseur commun > 1 ?
- Comment l’identité de Bézout démontre-t-elle ce résultat ?
- Ce résultat s’étend-il à n et n+2 ?
- Quel est le PGCD de trois nombres consécutifs ?
Par l’identité de Bézout :
(n+1)×1 + n×(-1) = 1
Donc PGCD(n,n+1) = 1
