Équilibre d’un Solide en Rotation autour d’un Axe Fixe Mécanique – Tronc Commun Technologies

Équilibre d’un Solide en Rotation autour d’un Axe Fixe Mécanique – Tronc Commun Technologies

Équilibre d’un Solide en Rotation autour d’un Axe Fixe
Mécanique – Tronc Commun Technologies

Introduction

Un solide est en équilibre de rotation lorsque son état de rotation ne change pas (soit au repos, soit en rotation uniforme). Cette étude est cruciale pour comprendre les systèmes mécaniques comme les roues, les engrenages ou les poulies.

Conditions

• ΣM = 0 (somme des moments)
• Axe fixe immobile

Grandeurs

Moment de force
Moment d’inertie

Applications

Leviers
Poulies
Balances

1. Moment d’une Force

\[ \vec{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \vec{OA} \wedge \vec{F} \]

Module : M = F × d × sin(θ)

Définition

Le moment d’une force mesure sa capacité à faire tourner un solide autour d’un axe :

  • F : force appliquée (N)
  • d : bras de levier (m)
  • θ : angle entre F et OA

Unité : Newton-mètre (N.m)

Représentation

F d θ

2. Condition d’Équilibre

\[ \sum \vec{M}_{\Delta} = \vec{0} \]

La somme des moments des forces doit être nulle

Principe fondamental

Pour un solide en équilibre de rotation :

\[ \sum M_{\text{horaires}} = \sum M_{\text{antihoraires}} \]

Exemple pour une balance :

\[ P_1 \times d_1 = P_2 \times d_2 \]

Balance à fléau

P₁ P₂ d₁ d₂

À l’équilibre : P₁×d₁ = P₂×d₂

3. Applications Pratiques

Levier

F₁ F₂ d₁ d₂

Principe du levier :

\[ F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2 \]

Types : inter-résistant, inter-appui, inter-puissance

Poulie

T₁ T₂ R

Poulie idéale (sans frottement) :

\[ T_1 = T_2 \]

Le moment résultant est nul

4. Exercice Résolu

Énoncé : Une barre homogène de 4 m de long et de poids P = 100 N est en équilibre sur un appui situé à 1,5 m d’une extrémité. Quelle masse m doit-on suspendre à l’extrémité courte pour maintenir l’équilibre ?

Schéma

m P R 1,5 m 2,5 m

Solution

1. Calcul des moments :

\[ \sum M = 0 \Rightarrow m \times 1.5 = P \times 1.0 \]

2. Résolution :

\[ m = \frac{100 \times 1.0}{1.5} \approx 66.67\ \text{N} \] \[ m \approx 6.8\ \text{kg} \]

Comments

No comments yet. Why don’t you start the discussion?

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *