Équations, Inéquations et Systèmes
Mathématiques – Tronc Commun Science
Introduction
Les équations, inéquations et systèmes sont des outils fondamentaux pour modéliser et résoudre des problèmes technologiques concrets.
Équations
Égalité avec inconnue
Ex: 2x + 3 = 7
Inéquations
Inégalité avec inconnue
Ex: 3x – 5 < 10
Systèmes
Plusieurs équations liées
Ex: {2x + y = 5; x – y = 1}
1. Équations du Premier Degré
Forme générale : ax + b = 0
Méthode de résolution
- Isoler le terme en x
- Diviser par le coefficient
- Vérifier la solution
Exemple :
3x + 5 = 11
3x = 6
x = 2
Résolveur interactif
2. Inéquations du Premier Degré
Types d’inéquations
• ax + b < 0
• ax + b ≤ 0
• ax + b > 0
• ax + b ≥ 0
Attention : Lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inégalité !
Représentation graphique
3. Systèmes d’Équations Linéaires
Méthode par substitution
- Exprimer y en fonction de x
- Substituer dans la 2ème équation
- Résoudre pour x puis y
Méthode par combinaison
- Égaliser les coefficients
- Additionner/soustraire les équations
- Résoudre étape par étape
Exemple résolu
Système :
\[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases} \]Solution :
1. Additionner les deux équations :
3x = 6 ⇒ x = 2
2. Substituer x dans la 2ème équation :
2 – y = 1 ⇒ y = 1
Solution : (2; 1)
4. Applications Technologiques
Réseaux électriques
Résolution de systèmes pour calculer les courants dans différents branches d’un circuit.
Optimisation de production
Inéquations pour déterminer les quantités optimales de production sous contraintes de ressources.
Exercice pratique
Une entreprise produit deux modèles A et B. Le modèle A rapporte 30€ et nécessite 2h de travail. Le modèle B rapporte 50€ et nécessite 4h de travail. L’atelier dispose de 100h par semaine. Combien produire de chaque modèle pour maximiser le profit ?
Système :
\[ \begin{cases} 2x + 4y \leq 100 \\ x \geq 0, y \geq 0 \\ \text{Max } P = 30x + 50y \end{cases} \]Solution :
Point optimal : (0, 25)
Profit maximal : 1250€
