Développement, Factorisation et Identités Remarquables
3ème Année Collège
Introduction
En algèbre, le développement et la factorisation sont des opérations inverses qui permettent de transformer des expressions mathématiques.
Développement
Transformer un produit en somme
3(x + 2) → 3x + 6
Factorisation
Transformer une somme en produit
4x + 12 → 4(x + 3)
1. Développement
Propriété de distributivité :
\[ k(a + b) = ka + kb \]
\[ k(a – b) = ka – kb \]
Exemple 1
Développer : 2(x + 5)
2×x + 2×5 = 2x + 10
Exemple 2
Développer : 3(2x – 4)
3×2x – 3×4 = 6x – 12
k
(a + b)
=
k·a
+
k·b
2. Identités Remarquables
Carré d’une somme
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
a²
ab
ab
b²
Carré d’une différence
\[ (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \]
Même principe que (a+b)² mais avec un signe –
Différence de deux carrés
\[ a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) \]
3. Factorisation
Méthode du facteur commun :
\[ ka + kb = k(a + b) \]
Exemple 1
Factoriser : 3x + 12
3×x + 3×4 = 3(x + 4)
Exemple 2
Factoriser : x² – 5x
x×x – x×5 = x(x – 5)
Avec les identités remarquables :
| Forme développée | Forme factorisée |
|---|---|
| a² + 2ab + b² | (a + b)² |
| a² – 2ab + b² | (a – b)² |
| a² – b² | (a + b)(a – b) |
Exercice Interactif
Développer puis factoriser l’expression : (x + 3)² – 16
