Développement, Factorisation et Identités Remarquables
Mathématiques – 3ème Année Collège
Introduction
En algèbre, le développement et la factorisation sont des opérations inverses qui permettent de transformer des expressions algébriques. Les identités remarquables sont des formules clés qui facilitent ces transformations.
Développement
Transformer un produit en somme
a(b + c) = ab + ac
Factorisation
Transformer une somme en produit
ab + ac = a(b + c)
Identités
Formules spéciales de développement
(a + b)² = a² + 2ab + b²
1. Développement d’Expressions
Simple Distributivité
\[ k(a + b) = ka + kb \]
\[ 3(x + 5) = 3x + 15 \]
Double Distributivité
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
\[ (x + 3)(2x – 1) = 2x^2 – x + 6x – 3 \]
2. Identités Remarquables
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Carré d’une somme
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
Carré d’une différence
\[ (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \]
\[ (2x – 1)^2 = 4x^2 – 4x + 1 \]
Produit de sommes
\[ (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \]
\[ (x + 5)(x – 5) = x^2 – 25 \]
3. Factorisation d’Expressions
Facteur Commun
\[ ka + kb = k(a + b) \]
\[ 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \]
Avec Identités Remarquables
\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
\[ x^2 – 10x + 25 = (x – 5)^2 \]
\[ 4x^2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) \]
4. Applications et Méthodes
Développer efficacement
- Identifier le type d’expression
- Appliquer la bonne méthode
- Distributivité simple
- Double distributivité
- Identité remarquable
- Réduire l’expression
Factoriser efficacement
- Rechercher un facteur commun
- Vérifier une identité remarquable
- Sinon, utiliser la méthode du produit-somme
- Vérifier la factorisation en développant
Exemple Complet
Développer puis factoriser : (x + 3)² – (x + 1)(x – 1)
Développement :
= (x² + 6x + 9) – (x² – 1) = x² + 6x + 9 – x² + 1 = 6x + 10
Factorisation :
= 2(3x + 5)
