Décroissance Radioactive
2^ème BAC Sciences Mathématiques A

1. Lois de la Décroissance

Loi de désintégration : Le nombre de noyaux qui se désintègrent par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux présents.

\[ \frac{dN}{dt} = -\lambda N \]

où λ = constante radioactive (s^-1)

Solutions :

Loi exponentielle : \( N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \)
Demi-vie : \( t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \)
Activité : \( A(t) = \lambda N(t) \) (en Becquerel)

2. Demi-Vie et Constante Radioactive

Définition

La demi-vie est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux se désintègrent.

Relation

Lien entre constante radioactive λ et demi-vie :

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \] \[ t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda} \]

Exemple : Pour le Carbone-14 (t₁/₂=5730 ans) :

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{5730 \times 365 \times 24 \times 3600} \approx 3.83 \times 10^{-12} \, \text{s}^{-1} \]

Application : Un échantillon a une activité initiale de 400 Bq. Après 3 demi-vies, calculez :

Le nombre de noyaux restants
L’activité résiduelle

Réponses :

a) \( N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8} \)

b) \( A = A_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \boxed{50 \, \text{Bq}} \)

3. Types de Désintégration

Désintégration α

Émission d’un noyau d’hélium (⁴He)

\[ ^{A}_{Z}X \rightarrow ^{A-4}_{Z-2}Y + ^{4}_{2}He \]

Exemple : Uranium-238 → Thorium-234 + α

Désintégration β^–

Transformation d’un neutron en proton avec émission d’un électron

\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]

Exemple : Carbone-14 → Azote-14 + β⁻

Désintégration γ

Émission d’un photon énergétique sans modification de Z ou A

\[ ^{A}_{Z}X^* \rightarrow ^{A}_{Z}X + \gamma \]

4. Applications : Datation

Méthode du Carbone 14

Principe : Comparaison du ¹⁴C restant avec le ¹⁴C initial (t₁/₂=5730 ans)

Formule de datation :

\[ t = \frac{t_{1/2}}{\ln(2)} \ln\left(\frac{N_0}{N}\right) \]

^-λt

Exemple : Un fossile contient 25% du ¹⁴C initial. Calculez son âge.

Solution :

\[ t = \frac{5730}{\ln(2)} \ln\left(\frac{100}{25}\right) \] \[ t \approx \frac{5730}{0.693} \times 1.386 \approx \boxed{11460 \, \text{ans}} \]

5. Applications Médicales

Scintigraphie

Utilisation de traceurs radioactifs (ex: Technétium-99m) pour l’imagerie médicale.

Radiothérapie

Utilisation de rayonnements (γ ou β) pour détruire les cellules cancéreuses.

Protection Radiologique

Règles ALARA :

Aussi Faible que Raisonnablement Attainable
Distance, Temps, Écran (plomb, béton)

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