Chute Libre Verticale d’un Solide
Mécanique – 2ème BAC Sciences Mathématiques SMA
Introduction
Un corps est en chute libre lorsqu’il n’est soumis qu’à son poids (pas de frottement ni de poussée). En classe de 2ème BAC, on étudie le cas particulier de la chute verticale sans vitesse initiale.
Hypothèses
• Pas de frottement
• Champ de pesanteur uniforme
Référentiel
Terrestre supposé galiléen
Vecteurs
Mouvement rectiligne accéléré
1. Équations du Mouvement
\[ \vec{P} = m\vec{g} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g} \]
Équations horaires
\[ v(t) = gt \]
\[ z(t) = \frac{1}{2}gt^2 \]
\[ v^2 = 2gz \]
Avec :
- g = 9.8 m/s² (à Casablanca)
- t : temps en secondes
- z : hauteur en mètres
Représentation graphique
2. Démonstration des Équations
Par intégration
1. Accélération :
\[ a = \frac{dv}{dt} = g \Rightarrow dv = g\,dt \]
\[ \int_0^v dv = g\int_0^t dt \Rightarrow v = gt \]
2. Position :
\[ v = \frac{dz}{dt} = gt \Rightarrow dz = gt\,dt \]
\[ \int_0^z dz = g\int_0^t t\,dt \Rightarrow z = \frac{1}{2}gt^2 \]
Relation indépendante du temps
\[ v = gt \Rightarrow t = \frac{v}{g} \]
\[ z = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}g\left(\frac{v}{g}\right)^2 \]
\[ \Rightarrow v^2 = 2gz \]
3. Applications Numériques
Exemple typique :
Un objet lâché d’une hauteur h = 100 m :
\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 4.52\ \text{s} \]
\[ v = \sqrt{2gh} \approx 44.3\ \text{m/s} \]
4. Expérience de Galilée
Tour de Pise
Galilée démontra que tous les corps tombent avec la même accélération, contrairement à la théorie d’Aristote.
Vérification moderne
Dans le vide, une plume et une bille d’acier tombent simultanément.
