Calcul Vectoriel dans le Plan
Mathématiques – 2ème BAC Sciences
Introduction
Le calcul vectoriel est un outil fondamental en mathématiques et physique qui permet de représenter et manipuler des grandeurs ayant à la fois une intensité et une direction.
Vecteur
Direction
Norme
Sens
Repère
(O,i,j)
Coordonnées
Applications
Physique
Géométrie
1. Notions Fondamentales
\[ \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\vec{i} + y\vec{j} \]
Définition
Un vecteur est caractérisé par :
- Sa direction (la droite qui le porte)
- Son sens (orientation sur la droite)
- Sa norme (longueur)
Norme :
\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Représentation
Représentation dans un repère orthonormé
2. Opérations Vectorielles
Addition
Règle du parallélogramme :
Multiplication par un scalaire
Propriétés :
- Changement de norme
- Changement de sens si λ négatif
- Même direction
Produit Scalaire
Définition :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ \]Interprétation :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta \]Calculateur :
u = (, )
v = (, )
u·v = -4
3. Applications Géométriques
Colinéarité
Deux vecteurs sont colinéaires si :
\[ \exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{u} = \lambda\vec{v} \]Ou si leur déterminant est nul :
\[ \det(\vec{u},\vec{v}) = xy’ – x’y = 0 \]Orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux si :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]Équation de Droite
Vectorielle :
\[ M = A + t\vec{u}, t \in \mathbb{R} \]Cartésienne :
\[ ax + by + c = 0 \]où n(a,b) est normal
Visualisation :
4. Applications Physiques
Forces et Mouvement
Une force est un vecteur :
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]Composantes :
\[ \vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j} \]Projection de Forces
Projection d’une force sur un axe :
\[ F_{\vec{u}} = \vec{F} \cdot \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} \]5. Exercices et Applications
Exercice 1
Soient A(1;2), B(4;6) et C(5;1). Montrer que ABC est un triangle rectangle.
Exercice 2
Trouver l’équation de la droite passant par A(2;3) et de vecteur normal n(1;-2).
Applications Avancées
- Mécanique : Résolution de problèmes de forces concourantes
- Informatique : Graphisme 2D, jeux vidéo
- Ingénierie : Calcul de structures, statique
